数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 微分法をつかって / Page: 0]

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■13605 / inTopicNo.1)

　微分法をつかって

□投稿者/ 彩乃一般人(3回)-(2006/06/18(Sun) 23:11:28)

n次の多項式f(x)はf''(x)-2xf'(x)+8f(x)=0, f(1)=-(5/4)を満たす

(1)ｎの値を求めよ

(2)f(x)を求めよ

-------------------------------------------

という問題なのですが(1)ですでにつまづいています。

f(x)=a[n]x^n＋a[n-1]x^(n-1)+…+a[1]x+a[0]　(ただしa[n])とおいて
f'(x),f''(x)まで求めたのですがその後が解けません。
(1)が解けないと(2)も解けないので困っています

解法(正しい回答の書き方で出来たらお願いします)を教えて下さい。
お願いします。

ちなみに、最終的な答えは(1)n=4、(2)f(x)=x^4-3x^2+3/4となるらしいです。

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■13606 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分法をつかって

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(273回)-(2006/06/18(Sun) 23:30:01)

■No13605に返信(彩乃さんの記事)
>
> n次の多項式f(x)はf''(x)-2xf'(x)+8f(x)=0, f(1)=-(5/4)を満たす
>
> (1)ｎの値を求めよ
>
> (2)f(x)を求めよ
>
> -------------------------------------------
>
> という問題なのですが(1)ですでにつまづいています。
>
> f(x)=a[n]x^n＋a[n-1]x^(n-1)+…+a[1]x+a[0]　(ただしa[n])とおいて
> f'(x),f''(x)まで求めたのですがその後が解けません。

最高次について、 $2$f''(x)$ は $2$n(n-1)a_nx^{n-2}$ で $2$n-2$ 次

$2$-2xf'(x)$ は $2$-2na_nx^n$ で $2$n$ 次

$2$8f(x)$ は $2$8a_nx^n$ で $2$n$ 次

よって、 $2$f''(x)-2xf'(x)+8f(x)=0$ の最高次は $2$n$ 次

このとき、 $2$-2na_n+8a_n=0$ $2$2a_n(4-n)=0$ 　　 $2$a_n\ne 0$ より、 $2$n=4$

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■13674 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分法をつかって

▲▼■

□投稿者/ 彩乃一般人(4回)-(2006/06/19(Mon) 21:23:29)

(2)でさらにつまづきました。

f''(x)-2xf'(x)+8f(x)=0

からなぜ

2a[3]x^3+4(3a[4]+a[2])x^2+6(a[3]+a[1]x+2(a[2]+4a[0])=0
((1)よりf(x)=a[4]x^4+a[3]x^3+a[2]x^2+a[1]x+a[0]とおく）

になるのでしょうか？このあとの解答が

これがxについての恒等式より
a[2]=-3a[4]
a[3]=0
a[1]=0
a[0]-(1/4)a[2]=(3/4)a[4]

またa[4]+a[3]+a[2]+a[1]+a[0]=-(4/5)・・・①

というのが意味わかりません。（①式の意味はわかりますがどこでつかってるのでしょう？）

解法を教えて下さい。

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■13675 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分法をつかって

▲▼■

□投稿者/ 彩乃一般人(5回)-(2006/06/19(Mon) 21:44:30)

分かりにくいとおもうのでTEXに直します。

$2$f''(x)-2xf'(x)+8f(x)=0$

からなぜ

$2$2a[3]x^3+4(3a[4]+a[2])x^2+6(a[3]+a[1]x+2(a[2]+4a[0])=0$
((1)より $2$f(x)=a[4]x^4+a[3]x^3+a[2]x^2+a[1]x+a[0]$ とおく）

になるのでしょうか？このあとの解答が

これがxについての恒等式より
$2$a[2]=-3a[4]$
$2$a[3]=0$
$2$a[1]=0$
$2$a[0]-(1/4)a[2]=(3/4)a[4]$

また $2$a[4]+a[3]+a[2]+a[1]+a[0]=-(4/5)$ ・・・①

というのが意味わかりません。（①式の意味はわかりますがどこでつかってるのでしょう？）

解法を教えて下さい。

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■13676 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 微分法をつかって

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□投稿者/ miyup 大御所(285回)-(2006/06/19(Mon) 22:19:59)

■No13674に返信(彩乃さんの記事)
> (2)でさらにつまづきました。
>
> $2$f''(x)-2xf'(x)+8f(x)=0$
>
> からなぜ
>
> $2$2a_3x^3+4(3a_4+a_2)x^2+6(a_3+a_1)x+2(a_2+4a_0)=0$
>
> になるのでしょうか？

(1)で $2$n=4$ となりましたから、 $2$f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ とできますね。

このとき、 $2$f'(x)=4a_4x^3+3a_3x^2+2a_2x+a_1$ $2$f''(x)=12a_4x^2+6a_3x+2a_2$ より

$2$f''(x)-2xf'(x)+8f(x)=0$ に式を代入し、 $2$x$ について整理すれば、その式になりますね。

> これがxについての恒等式より
> $2$a_2=-3a_4$
> $2$a_3=0$
> $2$a_1=0$
> $2$a_0=-\frac{1}{4}a_2=\frac{3}{4}a_4$

$2$2a_3=0,3a_4+a_2=0,a_3+a_1=0,a_2+4a_0=0$ からきています。

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■13677 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 微分法をつかって

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□投稿者/ miyup 大御所(286回)-(2006/06/19(Mon) 22:26:28)

■No13675に返信(彩乃さんの記事)

> また $2$a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=-\frac{4}{5}$ ・・・①
>
> というのが意味わかりません。

問題に、 $2$f(1)=-\frac{4}{5}$ とする、と書いてありますね。

①に、さっき出た $2$a_3,\;a_2,\;a_1,\;a_0$ を代入すると $2$a_4$ がでるので、係数が全て決定します。

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