数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 濃度、群、関係式問題 / Page: 0]

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■13461 / inTopicNo.1)

　濃度、群、関係式問題

□投稿者/ 質問（数学）一般人(2回)-(2006/06/15(Thu) 09:07:40)

以下の問題、どなたかわかる人お願いします。

問　平面上で、合同な正ａ角形ｂ個を一点のまわりにすきまなく敷きつめるとき、　　ａ、ｂの関係式を求め、それを満たす（ａ、ｂ）を全て求めよ

問　自然全体の集合Ｎと、整数全体の集合濃度Ｚの濃度を比較せよ。

問　Ｇ＝｛ｘ＋√２ｙ|ｘ，ｙ∈Ｑ、ｘ＾２＋ｙ＾２≠０｝について、次の問いに　　答えよ。（Ｑは有理数全体の集合）
　　①Ｇは乗法について閉じていることを示せ。
　　②Ｇは乗法について群になることを示せ

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■13464 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 濃度、群、関係式問題

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□投稿者/ miyup 大御所(255回)-(2006/06/15(Thu) 12:00:11)

■No13461に返信(質問（数学）さんの記事)
> 以下の問題、どなたかわかる人お願いします。
>
>
> 問　平面上で、合同な正ａ角形ｂ個を一点のまわりにすきまなく敷きつめるとき、　　ａ、ｂの関係式を求め、それを満たす（ａ、ｂ）を全て求めよ

正ａ角形の１つの角の大きさは、 $2$180^{\circ}\times\frac{a-2}{a}$

ｂ個を一点のまわりにすきまなく敷きつめるとき、 $2$180^{\circ}\times\frac{a-2}{a}\times b=360^{\circ}$ より、 $2$b=\frac{4}{a-2}+2\;\;(a\geq 3)$

これを満たすａは、 $2$a=3,4,6$ 　　よって、 $2$(a,b)=(3,6),(4,4),(6,3)$

> 問　自然数全体の集合Ｎと、整数全体の集合Ｚの濃度を比較せよ。

$2$Z$ の元は、 $2$0,1,-1,2,-2,3,-3,\cdots$ と順番に並べることができる。

よって、 $2$N$ と $2$Z$ の濃度は等しい。

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■13485 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 濃度、群、関係式問題

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□投稿者/ miyup 大御所(258回)-(2006/06/15(Thu) 21:52:52)

■No13461に返信(質問（数学）さんの記事)

> 問　Ｇ＝｛ｘ＋√２ｙ|ｘ，ｙ∈Ｑ、ｘ＾２＋ｙ＾２≠０｝について、次の問いに　　答えよ。（Ｑは有理数全体の集合）
> 　　①Ｇは乗法について閉じていることを示せ。
> 　　②Ｇは乗法について群になることを示せ

$2$a,b,c \in G$ で、 $2$a=x+y\sqrt{2},\;b=z+u\sqrt{2},\;c=v+w\sqrt{2}$ とおく。

①
$2$ab=(x+y\sqrt{2})(z+u\sqrt{2})=(xz+2yu)+(xu+yz)\sqrt{2}\in G$ よって、Ｇは乗法について閉じている

②
1. $2$(ab)c$ と $2$a(bc)$ を計算して、一致していることを確かめる。（結合法則）

2. $2$ae=ea=a$ となる $2$e$ が存在することを言う。（単位元）

3. $2$aa^{-1}=a^{-1}a=e$ となる $2$a^{-1}$ が存在することを言う。（逆元）

1.2.3. より、Ｇは乗法について群をなす。

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