数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 角の最大値 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■12135 / inTopicNo.1)

　角の最大値

□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(32回)-(2006/05/16(Tue) 13:06:04)

三角OABの辺OA,OBの辺上または点A,Bのほうの延長上にそれぞれ
点C,Dをとり、OA:OC=OB:OD=1:k (k>0)となるようにする。
次に平行四辺形OCPB,平行四辺形OAQDをつくり
OA^2 +OB^2=5,OP^2 +OQ^2=9k^2 +8
を満たすようにする。OA:OB=1:2でkを動かしたとき、∠AOBの大きさの
最大値を求めよ。

難しくてどうすればいいのか分かりません
ごきょうじゅおねがいします！！＞＜

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12145 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ miyup 一般人(13回)-(2006/05/16(Tue) 18:15:10)

■No12135に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)
> 三角OABの辺OA,OBの辺上または点A,Bのほうの延長上にそれぞれ
> 点C,Dをとり、OA:OC=OB:OD=1:k (k>0)となるようにする。
> 次に平行四辺形OCPB,平行四辺形OAQDをつくり
> OA^2 +OB^2=5,OP^2 +OQ^2=9k^2 +8
> を満たすようにする。OA:OB=1:2でkを動かしたとき、∠AOBの大きさの
> 最大値を求めよ。

$2$OA^2+OB^2=5, OA:OB=1:2$ より、実際に $2$OA=1,OB=2$ としてよいですね。
このとき、 $2$OC=k, OD=2k$ です。また $2$CP=OB=2,DQ=OA=1$ です。

簡単のために、∠AOB= $2$\theta$ とおくと、
∠OCD=∠ODQ= $2$180^{\circ}-\theta$ より、
△OCD,△ODQへの余弦定理により、
$2$OP^2=OC^2+CP^2-2OC\cdot CP\cos (180^{\circ}-\theta)=k^2+4+4k\cos \theta$
$2$OQ^2= \cdots =4k^2+1+4k\cos \theta$
ここで、条件より
$2$OP^2+OQ^2=5k^2+5+8k\cos \theta =9k^2+8$
すなわち
$2$\cos \theta =\frac{4k^2+3}{8k}$
あとはこの式の右辺の最小値が左辺の $2$\theta$ の最大値を決める。

$2$f(k)=\frac{4k^2+3}{8k}$ とおけば、
まず定義域として、 $2$-1\leq \cos \theta \leq 1$ より
$2$-1 \leq \frac{4k^2+3}{8k} \leq 1$
$2$k>0$ に注意して解くと、 $2$\frac{1}{2}\leq k \leq \frac{3}{2}$ .

上記の範囲で微分・増減表を作ると、 $2$\frac{\sqrt{3}}{2}\leq f(k)=\cos \theta \leq 1$
よって、 $2$30^{\circ} \geq \theta \geq 0^{\circ}$ となり、
最大値は、 $2$\theta=30^{\circ}$

…もっと簡単にできる方いませんか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12158 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ miyup 一般人(23回)-(2006/05/16(Tue) 21:13:20)

■No12145に返信(miyupさんの記事)

> $2$\cos \theta =\frac{4k^2+3}{8k}$
> あとはこの式の右辺の最小値が左辺の $2$\theta$ の最大値を決める。

このあとが別解（前回は数Ⅲで解きました）

相加平均・相乗平均の関係より
$2$\cos \theta =\frac{4k^2+3}{8k}=\frac{k}{2}+\frac{3}{8k}\geq 2\sqrt{\frac{k}{2}\cdot\frac{3}{8k}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
　等号成立は…略

よって、 $2$\cos \theta$ の最小値は $2$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$2$\therefore$ 最大値は、 $2$\theta=30^{\circ}$

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12267 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(35回)-(2006/05/19(Fri) 16:29:54)

ありがとうございました！！
あのー速攻でしつもんなんですけど＞＜
OA:OB=1:2だったら、計算すると、OB=2OAで
OAのほうが大きいからOAが2でOBが1じゃないんでしょうか？
なんかこういう○:×＝△:□のようなものは苦手なんですよね＞＜
ここをちょっと教えていただけないでしょうか？
おねがいします！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12268 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(213回)-(2006/05/19(Fri) 16:33:03)

■No12267に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)
> ありがとうございました！！
> あのー速攻でしつもんなんですけど＞＜
> OA:OB=1:2だったら、計算すると、OB=2OAで
> OAのほうが大きいからOAが2でOBが1じゃないんでしょうか？
OAが2個分でやっとOB1個になるのですから
OBのほうが大きいですよ。係数でOAが大きいというのは誤りです。
> なんかこういう○:×＝△:□のようなものは苦手なんですよね＞＜
> ここをちょっと教えていただけないでしょうか？
> おねがいします！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12275 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(37回)-(2006/05/19(Fri) 16:43:36)

平木さん、ありがとうございました！！
えーと、また質問なんですけど＞＜

■No12145に返信(miyupさんの記事)
> ■No12135に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)
>>三角OABの辺OA,OBの辺上または点A,Bのほうの延長上にそれぞれ
>>点C,Dをとり、OA:OC=OB:OD=1:k (k>0)となるようにする。
>>次に平行四辺形OCPB,平行四辺形OAQDをつくり
>>OA^2 +OB^2=5,OP^2 +OQ^2=9k^2 +8
>>を満たすようにする。OA:OB=1:2でkを動かしたとき、∠AOBの大きさの
>>最大値を求めよ。
>
> $2$OA^2+OB^2=5, OA:OB=1:2$ より、実際に $2$OA=1,OB=2$ としてよいですね。
> このとき、 $2$OC=k, OD=2k$ です。また $2$CP=OB=2,DQ=OA=1$ です。

ここまでなんとかついていけたんですが（といってもまだ最初のほうだけど＞＜

> 簡単のために、∠AOB= $2$\theta$ とおくと、
> ∠OCD=∠ODQ= $2$180^{\circ}-\theta$ より、

ここで∠OCD=∠ODQ= $2$180^{\circ}-\theta$ っていうのがわかりません。
∠OCDと∠ODQがどうして等しいと分かるんでしょうか？
しかも、180°-\theta$（←すみません、この記号の呼び名知らないのでコピペで表現するしかありません。よければ呼び名教えてください）になるんでしょうか？
んーと、問題文から二つの角が等しいと分からないんですが、どうやって分かったのでしょうか？
おしえてください。
おねがいします！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12277 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ miyup 一般人(40回)-(2006/05/19(Fri) 16:48:09)

■No12275に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)

> ∠OCDと∠ODQがどうして等しいと分かるんでしょうか？

問題文のとおりに図を描くと、平行四辺形が２つできます。
それを見れば、角が等しいのがわかります。

\theta はギリシャ文字で「シータ」と読みます。
角の大きさを表します。ラピュタとは関係ありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12281 / inTopicNo.8)

　Re[4]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(39回)-(2006/05/19(Fri) 16:57:20)

ありがとうございました！
シータっていうんですか、べんきょうになりました！
さっきと同じとこでにつまっているんですが
∠ODQは平行四辺形の角を表しているから180°-θと分かるんですが
∠OCDは△OCDの角を表していて、180°-θではないように見えるんですが（自分で図を描いてみて）∠OCPとかじゃないんでしょうか？　それだったら180°-θのように見えます。
いやmiyupさんが間違ってるとかじゃなくて、ただそうなんじゃないかと疑問に思ってたずねてるだけです＞＜
何度も同じことをたずねてすみません。
おねがいします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12285 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(223回)-(2006/05/19(Fri) 17:08:09)

■No12281に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)
> ありがとうございました！
> シータっていうんですか、べんきょうになりました！
> さっきと同じとこでにつまっているんですが
> ∠ODQは平行四辺形の角を表しているから180°-θと分かるんですが
> ∠OCDは△OCDの角を表していて、180°-θではないように見えるんですが（自分で図を描いてみて）∠OCPとかじゃないんでしょうか？　それだったら180°-θのように見えます。
> いやmiyupさんが間違ってるとかじゃなくて、ただそうなんじゃないかと疑問に思ってたずねてるだけです＞＜
> 何度も同じことをたずねてすみません。
> おねがいします。
ひとつ気づいたのですが、
三角形OCDでなくて三角形OCPではないのでしょうか？
ですから角もOCPになるはずです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12286 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ miyup 一般人(41回)-(2006/05/19(Fri) 17:08:53)

■No12281に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)

> ∠ODQは平行四辺形の角を表しているから180°-θと分かるんですが
> ∠OCDは△OCDの角を表していて、180°-θではないように見えるんですが（自分で図を描いてみて）∠OCPとかじゃないんでしょうか？　それだったら180°-θのように見えます。

あれまあ、自分が混乱してました。ごめんなさい、訂正します。

∠OCPです。その下も△OCPです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12291 / inTopicNo.11)

　Re[6]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(41回)-(2006/05/19(Fri) 17:20:23)

あ、そうなんですか。
いろいろこっちもしつこく質問してごめんなさい
また質問があったらさせてもらいます。
多分質問あるんでそのときはよろしくおねがいします＞＜

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12459 / inTopicNo.12)

　Re[7]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(48回)-(2006/05/22(Mon) 18:39:16)

相加平均と相乗平均の使いどころというか使用目的がよく
分からないんですが、何を求めるときに使えばいいんでしょうか？
たまに出てくるだけで教科書の説明を読んでもよく分からないし＞＜
どなたか教えてもらえませんか？
この問題も相加平均相乗平均で解けるようですし。
なぜ？？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12461 / inTopicNo.13)

　Re[8]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(252回)-(2006/05/22(Mon) 19:30:21)

■No12459に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)
> 相加平均と相乗平均の使いどころというか使用目的がよく
> 分からないんですが、何を求めるときに使えばいいんでしょうか？
> たまに出てくるだけで教科書の説明を読んでもよく分からないし＞＜
> どなたか教えてもらえませんか？
> この問題も相加平均相乗平均で解けるようですし。
> なぜ？？
主に不等式の証明などに用いられます。
また最小値を求めたいとき・ある変数の定義域なども
求めたいときに使います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12465 / inTopicNo.14)

　Re[9]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ miyup 付き人(63回)-(2006/05/22(Mon) 22:46:13)

2006/05/22(Mon) 22:50:01 編集(投稿者)

■No12461に返信(平木慎一郎さんの記事)

> 主に不等式の証明などに用いられます。
> また最小値を求めたいとき・ある変数の定義域なども
> 求めたいときに使います。

追加情報

相加平均とは、足して２で割る平均で、通常使用している「平均」のことです。

　例　テストで2点と8点を取ったとき、相加平均＝ $2$\frac{2+8}{2}=5$ 点

相乗平均とは、かけてルートをとる平均で、比率の平均をとるとき等に使います。

　例　売り上げが１年目に前年度の2倍、２年目に前年度の8倍になったとき、
　　　　２年間で16倍になっているので、年平均4倍になったと考えられる。
　　　　すなわち、相乗平均＝ $2$\sqrt{2\cdot 8}=4$ 倍

　　　　 $2$\frac{2+8}{2}=5$ 倍としてしまうと、２年で $2$5\cdot 5=25$ 倍となって、おかしいですね。

一般に、「相加平均 $2$\geq$ 相乗平均」です。

証明で用いるときは、２つの数 $2$a,b$ が正数であればいつでも、 $2$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{a\cdot b}$ が成り立つ　という「性質」を利用させてもらうわけです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12479 / inTopicNo.15)

　Re[10]: 角の最大値

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(254回)-(2006/05/23(Tue) 18:46:28)

2006/05/23(Tue) 18:46:42 編集(投稿者)

まあ確かに相加平均等を
いつどのようなときに使えばよいのかというのは
難しいことです。
ただ「不等式を証明よ」と言われれば誰でもわかりますが、
こういう融合問題に関してはきついものもあるでしょう。
しかし、やはり慣れの問題だと思います。
まずいろいろな問題をやってみて感覚をつかむことです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター