数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 虚数係数の２次方程式 / Page: 0]

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■11297 / inTopicNo.1)

　虚数係数の２次方程式

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□投稿者/ bigriver 一般人(16回)-(2006/04/24(Mon) 07:20:14)

２次方程式
x^2+(1+i)x+2ab+(a-b)i=0
が実数解をもつ。a,bは実数、iは虚数単位とする。
(1)aとbの関係式を求めよ。
(2)実数解の値の範囲を求めよ。

という問題です。どなたかお解りですか？

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■11299 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 虚数係数の２次方程式

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□投稿者/ 名無し一般人(2回)-(2006/04/24(Mon) 09:26:06)

2006/04/24(Mon) 09:32:51 編集(投稿者)

■No11297に返信(bigriverさんの記事)
> ２次方程式
> x^2+(1+i)x+2ab+(a-b)i=0
> が実数解をもつ。a,bは実数、iは虚数単位とする。

実数解をx=αとして代入する。
$2$ \alpha^2 + (1+i)\alpha +(a-b)i = (\alpha^2+\alpha+2ab)+(\alpha+a-b)i=0$
は(実数)+(実数)i=0の形になっているので、複素数の相等条件からこの式は
$2$\left\{\begin{array}{ll} \alpha^2+\alpha+2ab=0 \\ \alpha+a-b=0 \end{array}$
と同値。ここからαを消去する。

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■11300 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 虚数係数の２次方程式

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□投稿者/ bigriver 一般人(17回)-(2006/04/24(Mon) 11:25:47)

(1)は、教えて頂いた通り解きますと、
a-a^2=b^2+b
と出ました。

(2)はどうなりますか？

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■11301 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 虚数係数の２次方程式

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□投稿者/ 名無し一般人(3回)-(2006/04/24(Mon) 12:18:42)

■No11300に返信(bigriverさんの記事)
> a-a^2=b^2+b
> と出ました。
>
> (2)はどうなりますか？

関係式はそれでいいですね。もう少し整理すると
$2$ \left(a-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
となって、これはab-平面上で円になる。これは(1)でα=b-aを代入することで出てきたので、もとの方程式と
$2$\left\{\begin{array}{l} \left(a-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ b = a + \alpha \end{array}\right.$
が同値になる。よって、直線b=a+αが円と共有点を持つ条件がαのとりうる値の範囲を決定する。グラフを描いてみればそれは円と直線が接するふたつの状態の間だとわかるので、接する条件を調べる。

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■11302 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 虚数係数の２次方程式

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□投稿者/ bigriver 一般人(18回)-(2006/04/24(Mon) 13:22:17)

■No11301に返信(名無しさんの記事)
> ■No11300に返信(bigriverさんの記事)
>>a-a^2=b^2+b
>>と出ました。
>>
>>(2)はどうなりますか？
>
> 関係式はそれでいいですね。もう少し整理すると
> $2$ \left(a-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
> となって、これはab-平面上で円になる。これは(1)でα=b-aを代入することで出てきたので、もとの方程式と
> $2$\left\{\begin{array}{l} \left(a-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ b = a + \alpha \end{array}\right.$
> が同値になる。よって、直線b=a+αが円と共有点を持つ条件がαのとりうる値の範囲を決定する。グラフを描いてみればそれは円と直線が接するふたつの状態の間だとわかるので、接する条件を調べる。

できましたー！！
代入して判別式で解いて、
-2≦p≦0
ですね！ありがとうございましたー。

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