数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 証明 / Page: 0]

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■11192 / inTopicNo.1)

　証明

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□投稿者/ yarrish 一般人(1回)-(2006/04/21(Fri) 03:11:50)

limits_{n/to/infty }(n^n / n!)=∞の証明をお願いします。
実数なしでお願いします。

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■11193 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ nanashi 一般人(3回)-(2006/04/21(Fri) 04:12:10)

2006/04/23(Sun) 09:16:30 編集(投稿者)

$2$ \lim_{n \to \infty}\frac{n^n }{n!} = \infty$
は比のテストで示せる。
$2$\begin{array} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \ \div\ \frac{n^n}{n!} &=& & & \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} &\cdot& \frac{n!}{n^n} \\ &=& \frac{n+1}{n+1} &\cdot& \frac{(n+1)^n}{n!} &\cdot& \frac{n!}{n^n} \\ &=& 1 &\cdot& \frac{(n+1)^n}{1} &\cdot& \frac{1}{n^n} \\ &=& \frac{(n+1)^n}{n^n} \\ &=& \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ &=& (1 + \frac{1}{n})^n &&\to\ e \ >\ 1 \end{array}$

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■11249 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 証明

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□投稿者/ Yarrish 一般人(1回)-(2006/04/22(Sat) 23:00:24)

回答ありがとうございました。
ダランベールの判定法（比のテスト）ですとLimが∞とは
証明できないですよね。
数学的帰納法での証明がこれに対してできますか？
他の方法でもいいのですが。
どなたか、教えてください。

> $2$\begin{array} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \ \div\ \frac{n^n}{n!} &=& & & \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} &\cdot& \frac{n!}{n^n} \\ &=& \frac{n+1}{n+1} &\cdot& \frac{(n+1)^n}{n!} &\cdot& \frac{n!}{n^n} \\ &=& 1 &\cdot& \frac{(n+1)^n}{1} &\cdot& \frac{1}{n^n} \\ &=& \frac{(n+1)^n}{n^n} \\ &=& \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ &=& (1 + \frac{1}{n})^n &&\to\ e \ >\ 1 \end{array}$

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■11256 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 証明

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□投稿者/ Yarrish 一般人(2回)-(2006/04/23(Sun) 04:26:44)

■No11193に返信(nanashiさんの記事)
> 2006/04/23(Sun) 02:05:20 編集(投稿者)
> 2006/04/21(Fri) 04:13:28 編集(投稿者)
> > $2$ \lim_{n \to \infty}\frac{n^n }{n!} = \infty$
> は比のテストで示せる。
> $2$\begin{array} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \ \div\ \frac{n^n}{n!} &=& & & \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} &\cdot& \frac{n!}{n^n} \\ &=& \frac{n+1}{n+1} &\cdot& \frac{(n+1)^n}{n!} &\cdot& \frac{n!}{n^n} \\ &=& 1 &\cdot& \frac{(n+1)^n}{1} &\cdot& \frac{1}{n^n} \\ &=& \frac{(n+1)^n}{n^n} \\ &=& \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ &=& (1 + \frac{1}{n})^n &&\to\ e \ >\ 1 \end{array}$
> > # ダランベールは級数の場合だったので削除。ただし、等差数列と比較すればこれで証明できてることに変わりないんで。

早速の回答ありがとうございました。
すみませんが、等差数列との比較についてもうすこし
詳しく教えていただけますか？
たとえば何と比較すればいいのでしょうか？
1/(1+n)とかでしょうか？
すみません・・・等比数列との比較は考えたのですが・・・
よろしくお願いします。

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■11262 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ soredeha 一般人(1回)-(2006/04/23(Sun) 09:19:34)

n＝2m（偶数）のとき
n^n/n !＝n・・・n・・・n/n(n-1)・・・(n/2)・・・1
≧n・・・n・・・n/n(n-1)・・・(n/2)・・・(n/2)
≧2^(n/2) →　∞

n＝2m-1(奇数)≧3 のとき,　n/m＝(2m - 1)/m＝2 - 1/m≧3/2
n^n/n !＝n・・・n・・・n/n(n-1)・・・m・・・1
＞n・・・n・・・n/n(n-1)・・・m・・・m
≧(3/2)^m →　∞
.

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