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　Re[1]: 証明

□投稿者/ nanashi 一般人(3回)-(2006/04/21(Fri) 04:12:10)

2006/04/23(Sun) 09:16:30 編集(投稿者)

$2$ \lim_{n \to \infty}\frac{n^n }{n!} = \infty$
は比のテストで示せる。
$2$\begin{array} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \ \div\ \frac{n^n}{n!} &=& & & \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} &\cdot& \frac{n!}{n^n} \\ &=& \frac{n+1}{n+1} &\cdot& \frac{(n+1)^n}{n!} &\cdot& \frac{n!}{n^n} \\ &=& 1 &\cdot& \frac{(n+1)^n}{1} &\cdot& \frac{1}{n^n} \\ &=& \frac{(n+1)^n}{n^n} \\ &=& \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ &=& (1 + \frac{1}{n})^n &&\to\ e \ >\ 1 \end{array}$

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