数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■11160 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

□投稿者/ ともや一般人(1回)-(2006/04/18(Tue) 22:17:25)

はじめまして、ともやっていいます。よろしくおねがいします。
宿題です。結構悩んでるのですが全くペンが進みません。ヒントだけでも教えていただけませんか？
あと、初めてなので表記の仕方が間違ってたらごめんなさい。

①a,b∈N={1,2,3,･･･}、a＞bのとき、全てのｎ∈Nに対してa^n - b^nはa-bで割り切れる事を数学的帰納法を使い示せ。

②全てのに対して、　2^(n-1)≦ｎ！≦ｎ^n　が成り立つことを数学的帰納法を使い示せ。

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■11161 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ name 一般人(16回)-(2006/04/18(Tue) 23:33:12)

2006/04/18(Tue) 23:38:48 編集(投稿者)
2006/04/18(Tue) 23:36:30 編集(投稿者)

１は
a^(n+1)-b^(n+1)=a*a^n-b*b^n
=a(a^n-b^n)+a*b^n-b*b^n
=a(a^n-b^n)+(a-b)b^n
ですね。

２は
左のほうの不等式は
対数をとると、
log{2^((n+1)-1)}-log((n+1)!)=-log(2)-log{2^(n-1)}+log(n+1)+log(n!)
=log(n!)-log{2^(n-1)} + log(n+1)-log(2)
=log(n!)-log{2^(n-1)} + log{(n+1)/2}
で、
n≧1
ですね。
右のほうの不等式は
(n+1)!-(n+1)^(n+1)=(n+1)(n!-(n+1)^n)
で、
n!-(n+1)^n≦n!-n^n
ですよね。

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■11162 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ はまだファミリー(176回)-(2006/04/18(Tue) 23:36:35)

■No11160に返信(ともやさんの記事)
n=1,2で割り切れることを示します。
n=k,k+1で割り切れることを仮定します。
n=k+2のとき
a^(k+2)-b^(k+2)=(a+b)(a^(k+1)-b^(k+1))-ab(a^k-b^k)
を利用ります。

n=1で不等号を示します。
n=kで成立を仮定します。
(k+1)!-2^k=(k+1)*k!-2*2^(k-1)≧2(k!-2^(k-1))
「ｋ+1を2に置き換えるとより小さくなる」という変形です。

(k+1)^(k+1)-(k+1)!=(k+1){(k+1)^k-k!}≧(k+1){k^k-k!}

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■11163 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数学的帰納法

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□投稿者/ ともや一般人(3回)-(2006/04/18(Tue) 23:42:23)

一つはまださんのところで質問があります。

> n=1,2で割り切れることを示します。
> n=k,k+1で割り切れることを仮定します。
> n=k+2のとき
> a^(k+2)-b^(k+2)=(a+b)(a^(k+1)-b^(k+1))-ab(a^k-b^k)
> を利用ります。

とありますが、n=kで成り立つことを仮定してn=k+1で成り立つと言えば証明終わりになるというわけではないのですか？

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■11165 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 数学的帰納法

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□投稿者/ はまだファミリー(177回)-(2006/04/19(Wed) 00:39:19)

■No11163に返信(ともやさんの記事)
「1つ前が正しければその次も正しい」
これが帰納法の基本です。
例「a[n+1]=a[n]+2,a[1]=2のとき、a[n]は偶数であることを示せ。」これは、ｋ番目が偶数なら漸化式よりｋ+1番目も偶数がわかります。

しかし
「前とその前が正しければその次も正しい」というパターンもあるのです。
例「a[n+2]=a[n+1]+a[n],a[1]=2,a[2]=4のときa[n]は偶数であることを示せ」では、k番目が偶数と仮定するだけでは証明できません。
ｋ番目とｋ+1番目を偶数と仮定してｋ+2番目の偶数が言えるのです。

大学入試でよく見かける帰納法の使い方は
（1）2項間の関係式→「k番目が正しいと仮定する」
（2）3項間の関係式→「ｋ番目とｋ+1番目が正しいと仮定する」
（3）∑が関係する式→「ｋ番目以下が全て正しいと仮定する」
です。参考にしてください。

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■11708 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 数学的帰納法

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□投稿者/ みやび一般人(1回)-(2006/05/07(Sun) 15:40:38)

横スレで申し訳ありません。ともやさんの宿題『②全てnに対して、　2^(n-1)≦ｎ！≦ｎ^n　が成り立つことを数学的帰納法を使い示せ。』に非常に近い問題ですが、行き詰まってしまいました。

【問題】３以上の整数 n に対して、2^(n-1) x n! < n^n なる不等式が成り立つことを示せ。

間違っているのかもしれませんが、(1 + 1/n)^n > 2 が証明できれば解けるのではと思いますが…　よろしくお願いします。

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■12140 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 数学的帰納法

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□投稿者/ すぎもと一般人(1回)-(2006/05/16(Tue) 16:31:11)

「のとき，を証明せよ。」について。

［１］のとき成立する。
［２］のとき成立するとする。
のとき，
・・・①
ここで，より二項定理から，

ゆえに①は正となる。
従って，のときも成立。

こんな感じでいかがでしょうか。

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