 | ■No10603に返信(バドさんの記事)
> 2006/04/03(Mon) 01:46:15 編集(投稿者)
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> もうひとつ質問があります。
> ↑a=(3,1),↑b=(1,2)とし、↑c=↑a+t↑b（tは実数）とする。
> |↑c|の最小値と、そのときのtの値を求めよ。
>
> 解答
> ↑c=↑a+t↑b
> =(3,1)+t(1,2)
> =(3+t,1+2t)
> よって、|↑c|^2=(3+t)^2+(1+2t)^2
> =5t^2+10t+10
> =5(t+1)^2+5
> よって、|↑c|^2はt=-1のとき最小値5をとる。
> 「|↑c|≧0であるから、このとき、|↑c|も最小となる。」
> ゆえに t=-1のとき最小値√5をとる。
>
> 「」の部分がなぜこうなるのか分かりません。
> √(|↑c|^2)=||↑c||
> =|↑c| （|↑c|≧0であるから）
>
> ということなのでしょうか？
> よろしくおねがいします。
負でない実数A,B(A≠B)があって，A^2>B^2であるとします．
このとき，A^2-B^2>0
⇔(A+B)(A-B)>0
A+B>0なので，両辺をA+B>0で割って，
⇔A-B>0
⇔A>B
よって，A≧0，B≧0，A≠Bのもとで，「A^2>B^2⇔A>B」・・・★
という同値関係が成り立ちます．
よって，|↑c|の大小を考えるときは，|↑c|≧0なので（大きさだから），★より2乗で考えても同値で，
|↑c|が最小⇔|↑c|^2が最小
となります．
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