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■2934
/ inTopicNo.1)
三角関数を含む関数!
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□投稿者/ ホーリーナイト
一般人(17回)-(2005/08/17(Wed) 20:30:50)
0≦θ<2π(パイ)のとき、y=2(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ+1の最大値、最小値を求めよ。
また、そのときのθの値を求めよ。
という問題なんですけど解答には、↓↓↓
sinθ+cosθ=t …@ とおくと、
t^2=(sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1+2sinθcosθ
よって、2sinθcosθ=t^2-1 …A
y=2(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ+1に@、Aを代入して、
y=2t-(t^2-1)+1=-t^2+2t+2=-(t-1)^2+3 …B
ここで、@に三角関数の合成を用いて、
t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4) …C
0≦θ<2πから、-1≦sin(θ+π/4)≦1なので、 -√2≦t≦√2
となっていました。Cが導き出された所までは理解したのですが、
その下の【-1≦sin(θ+π/4)≦1なので、】から【-√2≦t≦√2】への
所がいまいちわかりません。-1≦√2sin(θ+π/4)≦1では駄目なのでしょうか?
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■2935
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 三角関数を含む関数!
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□投稿者/ moomin
一般人(34回)-(2005/08/17(Wed) 21:44:17)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/
■
No2934
に返信(ホーリーナイトさんの記事)
t=sinθ+cosθの動く範囲は、
単位円と直線t=y+xが、交わるようなtの範囲です。
よってtは−√2〜√2の範囲をくまなく動くことになります。
引用返信
/
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■3081
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 三角関数を含む関数!
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□投稿者/ ホーリーナイト
一般人(18回)-(2005/08/20(Sat) 20:28:13)
t=y+xとはどこから出て来たんですか?
もっと詳しく教えて頂けたら幸いです!
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/
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■3083
/ inTopicNo.4)
Re[3]: 三角関数を含む関数!
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□投稿者/ moomin
一般人(40回)-(2005/08/20(Sat) 20:48:17)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/
■
No3081
に返信(ホーリーナイトさんの記事)
単位円上の点は
(x,y)=(cosθ,sinθ)
と表されます。
cosθ+sinθ=t⇔x+y=t★
と置きます。
★は直線を定義します。これをL(t)と呼ぶことにします。
すると★を満たす(x,y)は単位円とL(t)の交点になります。
※ここでtはL(t)のy切片です。
さて、cosθ+sinθ=t★なる
tの動く範囲を考えるのでしたが、
θの動く範囲は★が意味を持つ限り
「単位円とL(t)に交点がなければならない」・・☆
のですから、
☆のもとで直線を動かしたときy切片がどう動くのかを見ればいいわけです。
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