数学ナビゲーター掲示板
(現在 過去ログ4 を表示中)

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■36592 / inTopicNo.1)  数列
  
□投稿者/ やまサラサ 一般人(5回)-(2008/10/29(Wed) 18:57:17)
    こんばんわ!

    全然手の出ない問題があったので教えてください。

    a1=5
    a(n+1)=(7an-9)/(an+1)これはn≧1で成り立つ数列anの一般項を求めよ。
    ただし1/{a(n+1)-ア}=イ/(an-ア)+1/ウを満たしている。


    という問題で
    x=(7x-9)/(x+1)よりx=3であるから

    a(n+1)-3=(7an-9)/(an+1)-3

    というふうに解説してあるのですが、なぜ
    x=(7x-9)/(x+1)としたのでしょうか?解説を見ればそののち1/(an-3)が等差数列になっていくのですが、この時点で等差数列にするという意図がなきゃこんなことできませんよね。

    しかし、x=(7x-9)/(x+1)を計算しようなどと全く思いもしませんでしたし、そうしたところで等差数列がでてくるなんて思いもしませんでした。

    どのように考えれば解けるのでしょうか?
    またこれは日大の入試問題なのですが、入試においてア、イ、ウなどは特に表記がない場合定数ということでいいのでしょうか?たとえばア=an+16などというふうになる可能性はないのでしょうか?

    (携帯)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36599 / inTopicNo.2)  Re[1]: 数列
□投稿者/ miyup 大御所(638回)-(2008/10/30(Thu) 16:53:04)
    たとえば次のように考えてみる。
    
     a[n+1]=2a[n]+1 → a[n+1]+1=2(a[n]+1) で解ける(等比)。
                        ^^^^^^^^    ^^^^^^
     分数形
     b[n+1]=b[n]/(b[n]+1) → 1/b[n+1]=(b[n]+1)/b[n]=1/b[n]+1 で解ける(等差)。
                              ^^^^^^^^                 ^^^^^^
    上の2つの考え方が使えないか…
    
    a[n+1]=(7a[n]-9)/(a[n]+1) で b[n]=a[n]-α とおいてみる。
                                  ^^^^^^^^^^^^^
    b[n+1]={7(b[n]+α)-9}/{(b[n]+α)+1}-α
    
    右辺分子
    =7(b[n]+α)-9 - α{(b[n]+α)+1}
    =(7-α)b[n] - (α-3)^2
    
    より、α=3 であれば、右辺分子=4b[n] となるので
    結論
    b[n]=a[n]-3 とおくと、与えられた漸化式は b[n+1]=4b[n]/(b[n]+4)
    となって
    逆数をとるパターンになる。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36600 / inTopicNo.3)  Re[1]: 数列
□投稿者/ miyup 大御所(639回)-(2008/10/30(Thu) 20:25:27)
    No36592に返信(やまサラサさんの記事)
    > またこれは日大の入試問題なのですが、入試においてア、イ、ウなどは特に表記がない場合定数ということでいいのでしょうか?たとえばア=an+16などというふうになる可能性はないのでしょうか?

    1/(a[n+1]-ア)=イ/(a[n]-ア)+1/ウ

    こういう場合は基本的に定数です。
    a, b, c,… など文字定数が入る場合もあります。

    式が入ることはほとんどないと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36601 / inTopicNo.4)  Re[2]: 数列
□投稿者/ miyup 大御所(640回)-(2008/10/30(Thu) 20:44:04)
    No36599に返信(miyupさんの記事)

    a[n+1]=(7a[n]-9)/(a[n]+1) に対して
    x=(7x-9)/(x+1) という式は特性方程式であり
    ここから出てくる x=3 を使って漸化式を変形して行くことができます。
    図形的には
    直線 y=x と双曲線 y=(7x-9)/(x+1) の共有点(このケースでは接点)
    の x 座標が x=3 ですが
    a[1]=5 から順に a[2], a[3],… と「図形上で」求めていく(ここで y=x が活躍する)と
    値がどんどん 3 に近づいていきます。

    参考まで
483×483 => 250×250

1225367044.png
/6KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター