たとえば次のように考えてみる。

　a[n+1]＝2a[n]+1 → a[n+1]+1＝2(a[n]+1) で解ける(等比)。
　                   ^^^^^^^^    ^^^^^^
　分数形
　b[n+1]＝b[n]/(b[n]+1) → 1/b[n+1]＝(b[n]+1)/b[n]＝1/b[n]+1 で解ける(等差)。
　                         ^^^^^^^^                 ^^^^^^
上の２つの考え方が使えないか…

a[n+1]＝(7a[n]-9)/(a[n]+1) で b[n]＝a[n]-α とおいてみる。
                              ^^^^^^^^^^^^^
b[n+1]＝{7(b[n]+α)-9}/{(b[n]+α)+1}-α

右辺分子
＝7(b[n]+α)-9 - α{(b[n]+α)+1}
＝(7-α)b[n] - (α-3)^2

より、α＝3 であれば、右辺分子＝4b[n] となるので
結論
b[n]＝a[n]-3 とおくと、与えられた漸化式は b[n+1]＝4b[n]/(b[n]+4)
となって
逆数をとるパターンになる。