 | 2006/09/01(Fri) 23:16:10 編集(投稿者)
(1,1,1)を法線とする平面をπとおく。
この平面とxy平面上の円との2交点をP,Qと置き、
Pと原点を結ぶ直線と、y=xのなす角をθとおくと
平面πと円の2交点P,Qは(cos(π/4±θ),sin(π/4±θ),0)とおける。
この2点の中点Mは(1/√2*cosθ,1/√2*cosθ,0)
したがって、OM=cosθ
点Mの、軸(1,1,1)方向に対する射影点をNとすると、
NM=1/√3*OM=1/√3*cosθ,(∵(1,1,1)とxy平面のなす角αはsinα=1/√3を満たす)
NP=NQ=√{NM^2+(OMtanθ)^2}=√(1/3cos^2θ+sin^2θ)
以上よりθ固定したときの(1,1,1)軸回転体の、円の面積dSは
dS=π(NP^2-NM^2)dθ
求める体積は、θを0〜π/2まで積分した値を2倍
2π∫[0,π/2](NP^2-NM^2)dθ
=2π∫[0,π/2]√(sin^2θ)dθ
=2π
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