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Re[4]: 回転体の問題です。
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□投稿者/ miyup 大御所(697回)-(2006/09/01(Fri) 22:53:54)
| 2006/09/01(Fri) 23:24:01 編集(投稿者) 2006/09/01(Fri) 23:22:15 編集(投稿者)
ああ、まちがえてました。xy平面と回転軸のなす角θは、sinθ=1/√3 となりますね。
xz平面に、x軸となす角がθとなるように回転軸をもってきます。
原点をOとします。 円上かつx軸上の点A(1,0,0) から回転軸に垂線を下ろし、足をA' とおきます。 x軸上の円内の点P から回転軸に垂線を下ろし、足をP' とおきます。 またその点P からy軸に平行に直線を引き、円との交点(1つでよい)をQとおきます。
このとき、△OAA',△OPP' について、OA:AA':OA'=OP:PP':OP'=√3:1:√2 です。
OP'=t とおくと、OP=√3t/√2, PP'=t/√2 で、Qは円x^2+y^2=1上の点より、PQ^2=y^2=1-OP^2=1-3t^2/2 。 よって、P'Q^2=PP'^2+PQ^2=1-t^2。
回転軸を改めて t軸として、回転体の体積は 2×π∫[0→√2/√3] (P'Q^2-PP'^2) dt=2π∫[0→√2/√3] (1-3t^2/2) dt=4√6π/9
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