![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/rob6.gif) | ■No12135に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事) > 三角OABの辺OA,OBの辺上または点A,Bのほうの延長上にそれぞれ > 点C,Dをとり、OA:OC=OB:OD=1:k (k>0)となるようにする。 > 次に平行四辺形OCPB,平行四辺形OAQDをつくり > OA^2 +OB^2=5,OP^2 +OQ^2=9k^2 +8 > を満たすようにする。OA:OB=1:2でkを動かしたとき、∠AOBの大きさの > 最大値を求めよ。
より、実際に としてよいですね。 このとき、 です。また です。
簡単のために、∠AOB= とおくと、 ∠OCD=∠ODQ= より、 △OCD,△ODQへの余弦定理により、
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$OP^2=OC^2+CP^2-2OC%5ccdot%20CP%5ccos%20%20%20(180^{%5ccirc}-%5ctheta)=k^2+4+4k%5ccos%20%20%20%5ctheta)
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$OQ^2=%20%5ccdots%20=4k^2+1+4k%5ccos%20%20%20%5ctheta) ここで、条件より
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$OP^2+OQ^2=5k^2+5+8k%5ccos%20%20%20%5ctheta%20=9k^2+8) すなわち
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5ccos%20%20%20%5ctheta%20=%5cfrac{4k^2+3}{8k}) あとはこの式の右辺の最小値が左辺の の最大値を決める。
とおけば、 まず定義域として、 より
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$-1%20%5cleq%20%5cfrac{4k^2+3}{8k}%20%5cleq%201)
に注意して解くと、 .
上記の範囲で微分・増減表を作ると、![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5cfrac{%5csqrt{3}}{2}%5cleq%20f(k)=%5ccos%20%20%20%5ctheta%20%5cleq%201) よって、 となり、 最大値は、![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5ctheta=30^{%5ccirc})
…もっと簡単にできる方いませんか?
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