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( 3x+2y ) 5  を展開したとき， x 2 y 3  の係数は，二項定理より

5 C 3 ( 3x ) 2 ( 2y ) 3 = 5×4×3 3×2×1 × 3 2 × 2 2 × x 2 y 3 =720 x 2 y 3

{ ( 3x+2 )+z } 8  を展開したとき， z についての3次の項をまとめると， 同じく二項定理より，

8 C 3 ( 3x+2y ) 8−3 z 3 = 8 C 3 ( 3x+2y ) 5 z 3 = 8 C 8−3 ( 3x+2y ) 5 z 3   ( ∵ n C r = n C n−r ) = 8 C 5 ( 3x+2y ) 5 z 3

で表わされる。このとき， ( 3x+2y+z ) 8  の展開式での  x 2 y 3 z 3  の係数は，

8 C 5 ×720 = 8×7×6×5×4×3 5×4×3×2×1 ×720 =40320

になり，また， z についての3次の項のうち，係数の最大のものは ( 3x+2y ) 5 の各係数の中で，最大のものに 8 C 3 を掛けたものになる。 ( 3x+2y ) 5 の各係数を求めてみると，

x 5 の係数：	5 C 0 ( 3x ) 5 ( 2y ) 0 =243 x 5
x 4 y 1 の係数：	5 C 1 ( 3x ) 4 ( 2y ) 1 =405 x 4 y
x 3 y 2 の係数：	5 C 2 ( 3x ) 3 ( 2y ) 2 =1080 x 3 y 2
x 2 y 3 の係数：	5 C 3 ( 3x ) 2 ( 2y ) 3 =720 x 2 y 3
x y 4 の係数：	5 C 4 ( 3x ) 1 ( 2y ) 4 =240 x y 4
y 5 の係数：	5 C 5 ( 3x ) 0 ( 2y ) 5 =32 y 5

となり，最大のものは x 3 y 2 の係数で1080より， z についての3次の項のうち，係数の最大のものは

8 C 5 ×1080 x 3 y 2 z 3 =60480 x 3 y 2 z 3

である。