センター試験 2002年度 数学II,数学B
 センター試験数学 by 数学ナビゲーター 最終更新日 2003年8月15日
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出題校:センター試験 2002年度 本試験 数学II・数学B 解答

第1問 (必須問題) (配点 30)

[1]
  a  を正の定数とし,角 θ  の関数

f(θ)=sin( aθ )+ 3 cos( aθ )

を考える。

(1)
  f(θ)= sin( aθ+イ ウ ° )  である。

(2)
  f(θ)=0  を満たす正の角 θ  の うち
最小のものは

   エ オ カ° a

であるり,小さいほうから数えて4番目と5番目のものは,それぞれ

   キ ク ケ° a    コ サ シ° a

である。

(3)
  0°θ180° の範囲で, f(θ)=0  を満たす θ  がちょうど4個存在するような a の範囲は

   ス セ   a<   タ チ  

である。

解き方 解答

 

[2]
対数関数

f(x)= log 2 x g(x)= log 2 ( x+a )

について考える。関数 y=g(x)  のグラフは,関数 y=f(x)  のグラフを x  軸方向に  テ ト  だけ平行移動したものである。ただし, a>0  とする。

(1)
  F(x)=g(x)f(x) とする。
F(2)=1 となるのは, a=  のときである。
F(1)=2F(3)  となるのは, a=  のときである。
(2)
次に

h(x)= log 4 ( 4x+b )      ( b>0 )

とする。 g(1)=h(1) g( 1 2 )=h( 1 2 )  となるのは

a=       b=    ノ ハ   ヒ フ

のときである。

解き方 解答

第2問 (必答問題) (配点 40)

[1]
座標平面において,点  ( a,1 )  を中心とし, x  軸に接する円を C 1 とする。また,放物線 y= 1 2 x 2 C 2 とし, C 2 上に点P ( b, 1 2 b 2 )  をとる。ただし, a>0 b>0 とする。
(1)
  C 1 の方程式は

( x ) 2 + ( y ) 2 =

である。

(2)
Pにおける C 2 の接線 の傾きは   である。したがって, の 方程式は

y= x       b

である。また,Pを通り, に直交する直線 m の方程式は

y=   クケ   x+      b +

である。

(3)
  C 1 の中心が m 上にあるとする。このとき

a=       b

が成り立つ。

 さらに, C 1 がPを通るとき

b= a= 2

である。

 このとき, C 1 はPにおいて と接し, x軸のなす角は  ナニ ° である。また,2直線 x=0 x=a の間にあって, C 1 C 1 x軸の三つで囲まれた部分の面積は

π

である。

解き方 解答

 

第3問 (選択問題) (配点 20)

 平行四辺形ABCDにおいて,辺ABを a:1 に内分する点P,辺BCを b:1 に内分する点をQとする。辺CD上の点Rをよび辺DA上の点SをそれぞれPR//BC,SQ//ABとなるようにとり, x = BP y = BQ とおく。

(1)
 五角形PBQRSの辺RQ,SPおよび対角線SBが表すベクトルは x y をもちいて

RQ = x y SP =ウ エ x y

SB =( ) x y

RB = x ( + ) y

となる。

(2)
  SP · x = x · y = y · RQ  が成り立つとする。このとき

x · y = | x | 2 = 1 シ ス | y | 2

である。

(3)
RQ//SB および SP//RB が成り立っている。このとき

a= セ ソ + b= +

である。

(4)
(2)と(3)の条件が同時に成り立つとき

| x | | y | =

であるから

cosPBQ=

を得る。

解き方解答

 

第4問 (選択問題) (配点 20)

(1)
相異なる二つの複素数ab に対して

arg za zb =±90°

を満たす z  は,複素平面上の,ある円の周上にある。この円は a b  を用いて

| z + |= | |

で表される。

 ただし, argz  は複素数 z  の偏角を表す。

(2)
 以下,複素数の偏角は 0° 以上 360° 未満とする。
2次方程式  x 2 2x+4=0  の二つの解を α β とする。ただし, α の虚部は正とする。このとき

arga=キ ク ° arga=ケ コ サ °

α 2 + β 2 =シ ス , α 2 β 2 = i

である。したがって

arg z α 2 z β 2 =90°

を満たす z  が描く図形は

| z+ |=

で表される円のうち

テ ト ナ °<argz<ニ ヌ ネ °

を満たす部分でる。

解き方解答

第5問 (選択問題) (配点 20) 

 右の表はあるクラスの英語と数学の成績の分布である。生徒数は50人で,成績は1から5までの5段階評価である。たとえば,この表によると英語の成績が4,数学の成績が2の生徒の数は5人である。
 このクラス全員の名札50枚をよくまぜて,1枚を取り出し,その名札の生徒の英語の成績を X ,数学の成績を Y として確率変数 X Y を定める。
 ただし,同姓同名の生徒はいないものとする。
(1)
X=4 となる確率は  イ ウ  である。

X=4  かつ  Y=3 となる確率は  オ カ  である。

X3  となる 確率は  ク ケ  である。

X3  という条件のもとで Y=3 となる条件つき確率は  サ シ  である。
(2)
a+b= であり, X=2 となる確率は   で, Xの平均(期待値)は   である。
(3)
  Yの平均値が 133 50 であれば

a= b=

である。

(4)
X=2  という事象と Y=4 という事象が独立であれば

a= a=

であり, Y の平均は ネ ノ である。  

解答

第6問 (選択問題) (配点 20)

  p を3以上の自然数とする。1以上 p1 以下の各自然数 a  に対して,数の列

a 1 , a 2 , a p1

を次のように決める。

  • a 1 a   とする。
  • a i+1 a i ×a a で割った余りとする。ただし, 1ip2 である。
また,各 a  に対して f(a)  を次のように決める。
  • a i =1 となる i 1ip1 の範囲にあるときは,そのような最小の i f(a)  とする。
  • a i =1 となる i 1ip1 の範囲に無いときは f(a)=0  とする。

a の値を入力して f(1),f(2),f(p1)  を出力させるプログラムを考えたい。 

  方針

数列 a 1 , a 2 を上の規則によって決めていく過程で
 になればその a を出力してFORループを抜けだす。
1から p1 のどの a に対しても   ならば0を出力する。

この方針に従って,次のプログラムを書いた。

100 INPUT "P=";P
110  FOR A=1 TO P-1
120     
130   FOR I=1 TO P-1
140     IF THEN PRINT "f(";A;")=";I:GOTO 180
150     B=A*B-P*INT(A*B/P)
160   NEXT I
170   PRINT "f(";A;")=0"
180 NEXT A
190 END

 注意:INT(X)は,Xを超えない最大の整数を表す関数である。

(1)
 上の   から   に適するものを,次の   のうちから一つずつ選べ。
   a i+1 1           a i+1 =1           B=0           B=1
   B<>0    B=A    A=B  

(2)
 このプログラムを実行する。表示

P=?

に対して7を入力したとき,はじめの4行は

      f(1)= 
      f(2)= 
      f(3)= 
      f(4)= 
    

と出力される。

(3)
 上のプログラムで140行と150行を入れかえたプログラム実行させ

P=?

に対して9を入力すると,はじめの4行は

      f(1)= 
      f(2)= 
      f(3)= 
      f(4)= 
    

とり,意図した結果と異なるものが出力される。

 

 

解答
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