センター試験 2002年度 数学I,数学A
 センター試験 2002年度 本試験 数学I・数学A 解法のヒント 最終更新日 2004年3月31日
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第3問 (選択問題) (配点 20)

[1]

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等比数列 { a } の初項を a  公比を r  とすると, a 1 =a a 2 =ar となる。これらを, a 1 +2 a 2 =0  に代入すると,

a 1 +2 a 2 =0 a+2ar=0 1+2r=0     (a0) r= 1 2

a 1 =a, a 2 =a( 1 2 ), a 3 = ( 1 2 ) 2 a 1 + a 2 + a 3 = 9 4 に代入すると,

a+a( 1 2 )+ ( 1 2 ) 2 = 9 4 a( 1 1 2 + 1 4 )= 9 4 3 4 a= 9 4 a=3

{ a } が等比数列であるkとに着目すると,

a 4 + a 5 + a 6 = r 3 a 1 + r 3 a 2 + r 3 a 3 = r 3 ( a 1 + a 2 + a 3 ) = ( 1 2 ) 3 · 9 4 = 9 32

一方, a n =3 ( 1 2 ) n1 です。

1 a n = b n とおくと,  b n = ( 2 ) n1 3 となり, b n は初項 1 3 ,公比-2の等比数列になります。等比数列の和の公式を用いると,

1 a 1 + 1 a 2 ++ 1 a n = b 1 + b 2 ++ b n = k=1 n b k = 1 ( 2 ) n { 1( 2 ) }3 = 1 ( 2 ) n 9

となります。この値が57となる a  を求めるので,

1 ( 2 ) n 9 =57 1 ( 2 ) n =513 ( 2 ) n =512 ( 2 ) n = ( 2 ) 9 n=9

[2]
  b 7 =1 より,

7p+q=1  ・・・・・・(1)

一方,

S n = k=1 n ( pn+q ) =p n( n+1 ) 2 +qn

S 12 =10 より,

p 12( 12+1 ) 2 +q·12=10
39p+6q=10  ・・・・・・(2)

(1),(2)より,

p= 1 3 ,q= 4 3

となる。よって,

S n = 1 3 n( n+1 ) 2 4 3 n= 1 6 ( n 2 7n )

S 1 + S 2 ++ S 12 を求めます。

k=1 n S k = k=1 n 1 6 ( k 2 7k ) = 1 6 { k=1 n k 2 7 k=1 n k } = 1 6 { n( n+1 )( 2n+1 ) 6 7 n( n+1 ) 2 } = 1 36 n( n+1 )( 2n+121 ) = 1 18 n( n+1 )( n10 )

k=1 n k 2 の計算はここを参考にしてください。

S 1 + S 2 ++ S 12 = k=1 12 S k = 1 18 ·12( 12+1 )( 1210 ) = 52 3

となります。

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