∑ k=1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n 2 = n   ( n+1 )( 2n+1 ) 6

【式の導き方】
( k+1 ) 3 − k 3 =3 k 2 +3k+1 に順に k=1,2,3,⋯,n  代入し，下のように縦にそろえて加えると，

2 3 − 1 3 =3· 1 2 +3·1+1 3 3 − 2 3 =3· 2 2 +3·2+1 4 3 − 3 3 =3· 3 2 +3·3+1 ⋯⋯ +)   ( n+1 ) 3 − n 3 =3· n 2 +3·n+1 ¯ ( n+1 ) 3 −1=3 ∑ k=1 n k 2 +3 ∑ k=1 n k +n

となる。左辺の合計が非常に簡単になることに注目すること。 ∑ k=1 n k = n( n+1 ) 2 を代入すると，

( n+1 ) 3 −1=3 ∑ k=1 n k 2 +3 n( n+1 ) 2 +n

となり，この式を整理すると，

∑ k=1 n k 2 = 1 3 { ( n+1 ) 3 −1−3 n( n+1 ) 2 −n } = 1 6 { 2 ( n+1 ) 3 −2−3n( n+1 )−2n } = 1 6 { 2 n 3 +6 n 2 +6n−3n( n+1 )−2n } = 1 6 n{ 2 n 2 +3n+1 } = 1 6 n( n+1 )( 2n+1 )

となり， ∑ k=1 n k 2 が求まります。