2次方程式の解き方　II

　2次方程式 a x 2 +bx+c=0   ( a≠0 ) の解き方

最終更新日 2004年3月31日

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【考え方】

2次方程式

a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0 ･･････(1) は2次関数 y = a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c ･･････(2) において y の値が 0 の場合に相当する。これを、グラフで示すとグラフ y = a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c   の x 軸上の点に対応する。すなわち、方程式 a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0   の解 x   は、 y = a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c   と x   軸との交点の x   座標の値と考えることができる。2次方程式(1)の解を α , β とすると、(1)は a ⁢ ( x - α ) ⁢ ( x - β ) = 0 ･･････(3) と書きかえることができる。(3)式を展開すると、     a ⁢ ( x - α ) ⁢ ( x - β ) = a ⁢ x 2 - a ⁢ ( α + β ) ⁢ x + a ⁢ α ⁢ β     ･･････(4) となる。(1)と(4)の係数を比較すると α + β = - b a     ･･････(5) α ⁢ β = c a     ･･････(6) の関係が得られる。これを解と係数の関係という。
(1)を(3)のように書き直すことができれば、2次方程式の解を求めることができる。
(1)を(3)のように書き直すと a ⁢ ( x - - b - b 2 - 4 ⁢ a ⁢ c 2 ⁢ a ) ⁢ ( x - - b - b 2 + 4 ⁢ a ⁢ c 2 ⁢ a ) = 0 ･･････(7) となる。よって、2次方程式 a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0   の解は、 x = - b ± b 2 - 4 ⁢ a ⁢ c 2 ⁢ a ･･････(8) となる。(8)は2次方程式の解の公式となる。

【関連ページ】
数学I