複素数 a+bi  （ a ， b は実数）に対して数 a−bi  を数 a+bi  の共役な複素数という。すなわち，共役な複素数は実数部は同じで虚数部は-1を掛けたもになる。

複素数 a+bi  を α で表すと，共役な複素数は α ¯ と表される。

また，複素数 a-biの共役な複素数は a+( −b )( −1 )i=a+bi となる。このことから a+biと a-biを互いに共役な複素数という。

共役な複素数は次のような特徴をもつ。

１．共役な複素数の和は実数
　　　 ( a+bi )+( a−bi )=2a

２．共役な複素数の積は実数
　　　 ( a+bi )( a−bi )= a 2 + b 2

実数の範囲で2次方程式 a x 2 +bx+c=0  （ a ， b ， c は実数） の解を考えていた場合，判別式 D<0 の場合解なしとなって解を表現することができなかったが，複素数まで扱う数を拡大すると2つの共役な複素数が解となる。解は，

x= −b± b 2 −4ac 2a
   = −b± 4ac− b 2 i 2a
   = −b 2a ± 4ac− b 2 2a i 　

となる。

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