直線の方程式
 空間における直線の方程式 by 数学ナビゲーター 最終更新日 2004年3月31日
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点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) を通り,方向ベクトル d =( l,m,n ) の直線の方程式は

x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n

と表わされる。また,媒介変数(パラメーター) t を用いて表すと

x= x 0 +tl y= y 0 +tm z= z 0 +tn

と表される。このような直線の方程式の表現方法を媒介変数表示という。

【用語の説明】
方向ベクトル:直線が延びている方向を指し示すベクトルのことである。
媒介変数: x y zのようは変数の関係を直接表示する変わりに, t のような補助変数を用いて,間接的に変数の関係を表示することができる。この場合の補助変数のことを媒介変数という。

【直線の方程式の導出】
直線は,空間中の点と方向ベクトルが決まれば,一意的に決まる。
空間中の点Pの座標を ( x 0 , y 0 , z 0 ) ,方向ベクトルを d =( l,m,n )  とし,直線上の点Qの座標を ( x,y,z )  とすると,

PQ =t d   ( は媒介変数)

と表すことができる。これを座標成分で表すと, PQ =( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )  なので,

( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )=t( l,m,n ) ( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )=( tl,tm,tn ) { x x 0 =tl y y 0 =tm z z 0 =tn

となり,媒介変数を用いた直線の方程式が求まる。次に媒介変数 t の消去を図る。

x x 0 =tl t= x x 0 l y y 0 =tm t= y y 0 m z z 0 =tn t= z z 0 n

となり, t を消去すると,

x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n

このように直線の方程式が求まります。

【関連ページ】
数学B点と直線の距離2直線のなす角

 

 

 
 
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