平面の方程式
 平面の方程式 by 数学ナビゲーター

最終更新日 2012年4月9日

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点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) を通り,法線ベクトルが n =( a,b,c ) の平面の方程式は

a( x x 0 )+b( y y 0 )+c( z z 0 )=0  

と表わされる。また,平面の方程式は一般に

ax+by+cz+d=0    (一般形)

と表される。このとき,平面の法線ベクトルは n =( a,b,c ) となる。

【用語の説明】
法線ベクトル:平面に垂直なベクトルのこと。

【平面の方程式の導出】
平面は,空間中の点と平面に垂直な法線ベクトルが決まれば,一意的に決まる。平面上の点Pの座標を ( x 0 , y 0 , z 0 ) ,法線ベクトルを n =( a,b,c ) とし,平面上の任意の点Qの座標を ( x,y,z ) とすると,ベクトル PQ は平面に含まれる。 n は平面の法線ベクトルなので, n PQ のなす角は90°である。よって,

n · PQ =0    ここを参照

となる。この関係から,

( a,b,c )·( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )=0 a( x x 0 )+b( y y 0 )+c( z z 0 )=0

となり,平面の方程式が求まる。

 

【平面の方程式の求め方のいろいろ】
■空間中の3点で決まる平面の方程式
空間中の3点をA ( a x , a y , a z ) ,B ( b x , b y , b z ) ,C ( c x , c y , c z ) とする。3点を含む平面上の点をP ( x,y,z ) とすると, AB AC をもちいて AP を表すと

m AB +n AC = AP

m n媒介変数。これを座標成分で表すと,

m{ ( b x , b y , b z )( a x , a y , a z ) }+n{ ( c x , c y , c z )( a x , a y , a z ) }={ ( x,y,z )( a x , a y , a z ) } ( m( b x a x )+n( c x a x ),m( b y a y )+n( c y a y ),m( b z a z )+n( c z a z ) )=( x a x ,y a y ,z a z ) { m( b x a x )+n( c x a x )=x a x m( b y a y )+n( c y a y )=y a y m( b z a z )+n( c z a z )=z a z

この関係式から, m n を消去すると平面の方程式が得られる。

別の方法
平面の方程式の一般形の ax+by+cz+d=0 に点A,点B,点Cの座標を代入して得られる連立方程式

{ a· a x +b· a y +c· a z +d=0 a· b x +b· b y +c· b z +d=0 a· c x +b· c y +c· c z +d=0

を解いても3点を含む平面の方程式を求めることができる。

 

【関連ページ】
数学B

 

 
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