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■9763 / inTopicNo.1)

　行列

□投稿者/ くろだい一般人(7回)-(2006/03/03(Fri) 16:08:50)

たびたび失礼します。
　２次の行列　　　　　　
┌　　　┐
X＝ │ a b │がX＾３＝４９Xを満たす。ただし、a,b,c,d
│ c d │
└　　　┘
は、a>b>c>dをみたす
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自然数であり、Xは逆行列をもたな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　い。このときXを求めよ。

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■9764 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1262回)-(2006/03/03(Fri) 17:57:47)

2006/03/03(Fri) 18:11:04 編集(投稿者)

※No9715はもう解決されましたか？

ハミルトンケーリーの定理より
X^2-(a+d)X+(ad-bc)E=O
Xは逆行列を持たないからad-bc=0
∴X^2=(a+d)X
よって
X^3
=(a+d)X^2
=(a+d)^2X
ここで、X≠O，a+d＞0よりa+d=7
さらにa，b，c，dはa＞b＞c＞dかつad-bc=0を満たす自然数だから
(a，b，c，d)=(6，3，2，1)

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■9766 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 行列

▲▼■

□投稿者/ せら一般人(15回)-(2006/03/03(Fri) 18:05:47)

条件を整理します。
（０）Ｘは自然数を成分とする２次行列
（１）Ｘ＾３＝４９Ｘ
（２）Ｘは逆行列を持たない
（３）ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ
これらが，与えられている条件です。
まず（１）ですが，３乗は扱いにくいので，２乗か１乗に次数を下げた関係式が欲しいところです。そこで，２次行列の関係式として常に意識しておきたい
Ｘ＾２－（ａ＋ｄ）Ｘ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏ　（ハミルトンケーリー）
から得られる
（４）Ｘ＾２＝（ａ＋ｄ）Ｘ－（ａｄ－ｂｃ）Ｅ
を（１）の左辺　Ｘ＾３＝Ｘ・Ｘ＾２に代入してあげましょう。
ここで（２）より
（５）ａｄ－ｂｃ＝０
となることがポイントです。

これによりａ＋ｄが求まります。（ａ，ｂ，ｃ，ｄが自然数であることに注意）あとは，これまでの条件（０）～（５）を使えば，ａ，ｂ，ｃ，ｄの組を探し出すことができるでしょう。
この問題では，計算して求める，というよりは，候補から絞り込んでいく，という感じのほうが楽だと思います。

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■9767 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 行列

▲▼■

□投稿者/ くろだい一般人(8回)-(2006/03/03(Fri) 18:17:09)

９７１５は既に解決しました。
　お二人ともありがとうございました。

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