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■9763
/ inTopicNo.1)
行列
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□投稿者/ くろだい
一般人(7回)-(2006/03/03(Fri) 16:08:50)
たびたび失礼します。
2次の行列
┌ ┐
X= │ a b │がX^3=49Xを満たす。ただし、a,b,c,d
│ c d │
└ ┘
は、a>b>c>dをみたす
自然数であり、Xは逆行列をもたな い。このときXを求めよ。
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/
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■9764
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 行列
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□投稿者/ だるまにおん
大御所(1262回)-(2006/03/03(Fri) 17:57:47)
2006/03/03(Fri) 18:11:04 編集(投稿者)
※
No9715
はもう解決されましたか?
ハミルトンケーリーの定理より
X^2-(a+d)X+(ad-bc)E=O
Xは逆行列を持たないからad-bc=0
∴X^2=(a+d)X
よって
X^3
=(a+d)X^2
=(a+d)^2X
ここで、X≠O,a+d>0よりa+d=7
さらにa,b,c,dはa>b>c>dかつad-bc=0を満たす自然数だから
(a,b,c,d)=(6,3,2,1)
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/
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■9766
/ inTopicNo.3)
Re[1]: 行列
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□投稿者/ せら
一般人(15回)-(2006/03/03(Fri) 18:05:47)
条件を整理します。
(0)Xは自然数を成分とする2次行列
(1)X^3=49X
(2)Xは逆行列を持たない
(3)a>b>c>d
これらが,与えられている条件です。
まず(1)ですが,3乗は扱いにくいので,2乗か1乗に次数を下げた関係式が欲しいところです。そこで,2次行列の関係式として常に意識しておきたい
X^2−(a+d)X+(ad−bc)E=O (ハミルトンケーリー)
から得られる
(4)X^2=(a+d)X−(ad−bc)E
を(1)の左辺 X^3=X・X^2に代入してあげましょう。
ここで(2)より
(5)ad−bc=0
となることがポイントです。
これによりa+dが求まります。(a,b,c,dが自然数であることに注意)あとは,これまでの条件(0)〜(5)を使えば,a,b,c,dの組を探し出すことができるでしょう。
この問題では,計算して求める,というよりは,候補から絞り込んでいく,という感じのほうが楽だと思います。
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■9767
/ inTopicNo.4)
Re[2]: 行列
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□投稿者/ くろだい
一般人(8回)-(2006/03/03(Fri) 18:17:09)
9715は既に解決しました。
お二人ともありがとうございました。
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