数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 四次関数；極大極小 / Page: 0]

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■9468 / inTopicNo.1)

　四次関数；極大極小

□投稿者/ ping-pong-rush 一般人(11回)-(2006/02/22(Wed) 23:25:46)

2006/02/22(Wed) 23:27:06 編集(投稿者)

四次関数が極大値と極小値を持つためには微分して出
てきた三次関数が三つの解を持てばいいんですよね？
どうして解を三つ持たなければならないのですか？一
つや二つではいけないのでしょうか？
また四次関数の極大値と極小値はそれぞれ一つずつし
かないんですよね？教えてください。

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■9469 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 四次関数；極大極小

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□投稿者/ 迷える子羊軍団(112回)-(2006/02/23(Thu) 00:06:49)

■No9468に返信(ping-pong-rushさんの記事)
> 2006/02/22(Wed) 23:27:06 編集(投稿者)
>
> 四次関数が極大値と極小値を持つためには微分して出
> てきた三次関数が三つの解を持てばいいんですよね？
まぁそういうことになるのですが、解をもつというより、符号変化が三回おこればばいいと理解しておけば良いと思います。
極大値のみや極小値のみの場合は符号変化が１回あればいいですかな。
> どうして解を三つ持たなければならないのですか？一
> つや二つではいけないのでしょうか？
じゃあその時にどういうことが起きているか知るために増減表を書いてみて下さい。
> また四次関数の極大値と極小値はそれぞれ一つずつし
> かないんですよね？
違いますね。極小値のみの場合や、極大値のみの場合もあります。極大値が一つで極小値が二個の場合、その逆もあります。
（その逆ってのは四次の項の係数の符号が正と負の２通りあるから。四次関数を考えているので四次の項の係数はゼロでないとする）
四次関数で極大値と極小値がそれぞれ一つずつのみはあり得ないと思います。
極大値と極小値がそれぞれ一つずつのみの場合は、例えば三次関数で波打つ形の時ですかな。

注）以上で、「符号変化」というのは、「正から負に変わること」または「負から正に変わること」を言うものとします。

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■9477 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 四次関数；極大極小

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□投稿者/ ping-pong-rush 一般人(12回)-(2006/02/23(Thu) 03:35:42)

> まぁそういうことになるのですが、解をもつというより、符号変化が三回おこればばいいと理解しておけば良いと思います。
> 極大値のみや極小値のみの場合は符号変化が１回あればいいですかな。

もしかすると、解三つ→符号変化四回になりますか？
解の数=符号変化の回数　にはなりませんよね？

> 違いますね。極小値のみの場合や、極大値のみの場合もあります。極大値が一つで極小値が二個の場合、その逆もあります。

どうやら極大極小の意味を取り違えていたようです。
x=0,x=1で極大値をとる場合必ずしもf(0)=f(1)というわけではないんですね？

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■9482 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 四次関数；極大極小

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□投稿者/ 迷える子羊軍団(115回)-(2006/02/23(Thu) 10:20:05)

■No9477に返信(ping-pong-rushさんの記事)
>>まぁそういうことになるのですが、解をもつというより、符号変化が三回おこればばいいと理解しておけば良いと思います。
>>極大値のみや極小値のみの場合は符号変化が１回あればいいですかな。
>
> もしかすると、解三つ→符号変化四回になりますか？
そうとは限りません。例えばf'(x)=(x-1)(x-2)^2の時、符号は順に、負、正、ゼロ、正となります。
さて、極値はどうなっているでしょう？増減表でも書いてみて下さい。
> 解の数=符号変化の回数　にはなりませんよね？
その通り。
>>違いますね。極小値のみの場合や、極大値のみの場合もあります。極大値が一つで極小値が二個の場合、その逆もあります。
>
> どうやら極大極小の意味を取り違えていたようです。
> x=0,x=1で極大値をとる場合必ずしもf(0)=f(1)というわけではないんですね？
そうです。f'(0)=f'(1)=0は言えるが、f(0)=f(1)というわけではないです。

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■9485 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 四次関数；極大極小

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□投稿者/ ping-pong-rush 一般人(13回)-(2006/02/23(Thu) 13:51:52)

2006/02/23(Thu) 18:26:40 編集(投稿者)

> そうとは限りません。例えばf'(x)=(x-1)(x-2)^2の時、符号は順に、負、正、ゼロ、正となります。
> さて、極値はどうなっているでしょう？増減表でも書いてみて下さい。

～1～2～|x
－0＋0＋|f'(x)
↓ ↑ ↑|f(x)
極小値が一つですね？この場合符号変化は一回ですか？
まだよく符号変化と極大値極小値の有無の関係がわかりません。

>>どうやら極大極小の意味を取り違えていたようです。
>>x=0,x=1で極大値をとる場合必ずしもf(0)=f(1)というわけではないんですね？
> そうです。f'(0)=f'(1)=0は言えるが、f(0)=f(1)というわけではないです。

では五次関数になると、
x=0で極大値,x=1で極小値のときf(0)=f(1)なんてこともありえるわけですか？

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■9543 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 四次関数；極大極小

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□投稿者/ 迷える子羊軍団(118回)-(2006/02/24(Fri) 03:28:27)

まずは、訂正。■No9482で、符号変化は順に、「負、正、ゼロ、正」と述べていますが、正しくは、「負、ゼロ、正、ゼロ、正」です。すみません。
最初で、ゼロが抜けています。まぁ、分かると思いますが。ゼロを経由しないと負から正に行くことができないですからねぇ。

>>そうとは限りません。例えばf'(x)=(x-1)(x-2)^2の時、符号は順に、負、正、ゼロ、正となります。
>>さて、極値はどうなっているでしょう？増減表でも書いてみて下さい。
>
> ～1～2～|x
> －0＋0＋|f'(x)
> ↓ ↑ ↑|f(x)
> 極小値が一つですね？この場合符号変化は一回ですか？
その通り。
> まだよく符号変化と極大値極小値の有無の関係がわかりません。
それは問題数をこなして、身に付けていってください。上で説明した通りです。
> >>どうやら極大極小の意味を取り違えていたようです。
> >>x=0,x=1で極大値をとる場合必ずしもf(0)=f(1)というわけではないんですね？
>>そうです。f'(0)=f'(1)=0は言えるが、f(0)=f(1)というわけではないです。
>
> では五次関数になると、
> x=0で極大値,x=1で極小値のときf(0)=f(1)なんてこともありえるわけですか？
ありえます。

ところで、教科書や参考書の解説等には、「y=f(x)のグラフを書け」ってな問題で、微分した後、f'(x)=0とすると・・・とやっていますが、
イコールゼロの所だけ調べても増減表は書けないですよね？符号というのは正、ゼロ、負の３通りあるので、
f'(x)>0とすると・・・
f'(x)=0とすると・・・
f'(x)<0とすると・・・
の内、最低でもどれか２つをやっておかなければならないと思うのですが、どうでしょう？みなさんはどうお考えですか？

例えば、f'(x)=1/x　となった時、f'(x)=0とすると・・・なんてやっていたら符号が分からないから増減表が書けないです。
是非、みなさんの意見を聞かせて下さい。お手数ですが、宜しくお願いします。

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■9581 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 四次関数；極大極小

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□投稿者/ ping-pong-rush 一般人(20回)-(2006/02/25(Sat) 02:47:33)

>>極小値が一つですね？この場合符号変化は一回ですか？
> その通り。
>>まだよく符号変化と極大値極小値の有無の関係がわかりません。

それじゃあ最大値と最小値を持つ場合符号変化は二回で十分な
気がするのですが・・・これが四次関数だからということでしょうか？

> ところで、教科書や参考書の解説等には、「y=f(x)のグラフを書け」ってな問題で、微分した後、f'(x)=0とすると・・・とやっていますが、
> イコールゼロの所だけ調べても増減表は書けないですよね？符号というのは正、ゼロ、負の３通りあるので、
> f'(x)>0とすると・・・
> f'(x)=0とすると・・・
> f'(x)<0とすると・・・
> の内、最低でもどれか２つをやっておかなければならないと思うのですが、どうでしょう？みなさんはどうお考えですか？
> 例えば、f'(x)=1/x　となった時、f'(x)=0とすると・・・なんてやっていたら符号が分からないから増減表が書けないです。

増減表の書けない関数はグラフが書けない、っと友達がいってたんですがそ
れはうそですか？あと、このやり方だと増減表書く必要がなくなりますよね？
うちの学校では増減表書かなかったらテストで×されました、、

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■9582 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 四次関数；極大極小

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□投稿者/ moomin 一般人(2回)-(2006/02/25(Sat) 10:15:10)
http://d.hatena.ne.jp/uramoomin/

横から失礼します。
関数のグラフを書くときの考え方は次のようなものです

まず基本的にグラフを書くのは難しいということに注意してください。
グラフと書くというのは関数を決定することだからです。
微分可能な関数に対しては増減表を書くことでグラフが
求められると期待！できるが、それも一般にはとても難しい。
なぜなら増減表を書くということは

「導関数の正負及びゼロになる範囲を完全に決定する」
ことだからです。

まずゼロになる範囲を求めるのが既に難しい。
零点が有限個な多項式でさえ根を求めるというのは殆どの場合
不可能です。y=1/xくらいなら全然簡単ですが。
さらに正負の状況はもっと難しい。

ところが
もし導関数が連続であれば、
「中間値の定理」を使うことでゼロの状況だけから
割と簡単に正負の状況が分かります。

※『ちなみに
導関数の正負が決まっても関数の増減が復元できるかというと、
これも一般には明らかではない。
つまりある点での（導関数の）正負が決まったからといって
（もとの関数の）その点の近くの様子が分かるとは限りません。
（ただし全ての点で導関数の正負が決まっていれば、ここは心配しなくても良い）

f'（a）＞０だとしてもaの近くでfが単調増加とは限らない。
（ただしこれは導関数の連続性が成り立っていれば言えます。
特に多項式関数の場合は増減の様子が分かります。）

さらに
普通は、f'（a）＝０だからといって
点aの近傍でf（x）が極小だとも言えないし極大だとも言えない。
（例えばy=x^3やy=sin（1/x^2）を考えてみればよい。）

なおこれについては
「2階微分可能な関数で導関数が連続ならば
f''（x）のx=aにおける符号が正ならｆ（x）はaで極小
負ならf（x）はaで極大である」
という定理があります。』

増減表を書かなくても関数のグラフが分かる場合はもちろんあります。
y=xなんかはそうです。
増減表でグラフを書くときは
「正・負・ゼロ」全ての状況を分類しないとだめです。
さらに厳密には導関数の連続性などに注意するべきです。

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■9609 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 四次関数；極大極小

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□投稿者/ 迷える子羊軍団(127回)-(2006/02/26(Sun) 01:20:20)

貴重なご意見ありがとうございました。大変参考になりました。
> まず基本的にグラフを書くのは難しいということに注意してください。
そうですよね。増減表だけからは、グラフは書けない、漸近線が隠れていたりしますからねぇー。関数も連続性もしらべないと！！
> グラフを書くというのは関数を決定することだからです。微分可能な関数に対しては増減表を書くことでグラフが求められると期待！できるが、それも一般にはとても難しい。なぜなら増減表を書くということは
> 「導関数の正負及びゼロになる範囲を完全に決定する」ことだからです。
同感です。ホントその通りです。
> まずゼロになる範囲を求めるのが既に難しい。零点が有限個な多項式でさえ根を求めるというのは殆どの場合不可能です。
その通りです。
>y=1/xくらいなら全然簡単ですが。
これは、例が悪かったです反省しています。
> さらに正負の状況はもっと難しい。
> ところが、もし導関数が連続であれば、「中間値の定理」を使うことでゼロの状況だけから割と簡単に正負の状況が分かります。
>
> ※『ちなみに、導関数の正負が決まっても関数の増減が復元できるかというと、これも一般には明らかではない。
> つまりある点での（導関数の）正負が決まったからといって（もとの関数の）その点の近くの様子が分かるとは限りません。
> （ただし全ての点で導関数の正負が決まっていれば、ここは心配しなくても良い）
>
> f'（a）＞０だとしてもaの近くでfが単調増加とは限らない。（ただしこれは導関数の連続性が成り立っていれば言えます。特に多項式関数の場合は増減の様子が分かります。）
>
> さらに、普通は、f'（a）＝０だからといって点aの近傍でf（x）が極小だとも言えないし極大だとも言えない。
いかにもその通り。私の相談内容が正確に伝わっているようです。
> （例えばy=x^3やy=sin（1/x^2）を考えてみればよい。）
>
> なおこれについては「2階微分可能な関数で導関数が連続ならば
>f''（x）のx=aにおける符号が正ならｆ（x）はaで極小、負ならf（x）はaで極大である」という定理があります。』
便利な定理です。
> 増減表を書かなくても関数のグラフが分かる場合はもちろんあります。y=xなんかはそうです。
そうです。
> 増減表でグラフを書くときは「正・負・ゼロ」全ての状況を分類しないとだめです。
> さらに厳密には導関数の連続性などに注意するべきです。
その通り。文科省検定済みの教科書にはゼロの時しか調べていないですが、間違いとは言いませんがそれでは不十分と言いたいのです。

よろしければ、他の方もお手数ですが意見をお願いします。

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