 | f(x)=(1/2)(x-a)^2+sinxcosx
=(1/2)(x-a)^2+(1/2)sin2x
より
f'(x)=x-a+cos2x (A)
ここで
g(x)=f'(x)
と置くとg(x)は
0< x <π/2 (B)
において連続ですから、条件を満たすためには(B)におけるxの増加に従ったg(x)の符号変化に
(i)+,-,+
(ii)-,+,-
のいずれかが含まれる必要があります。
ここで
g'(x)=1-2sin2x
ですからg(x)は(B)において
x=π/12のとき極大値π/12-a+√3/2
x=5π/12のとき極小値π/12-a-√3/2
を取ることが分かります。よって条件を満たすためには
π/12-a+√3/2>0 (C)
かつ
π/12-a-√3/2<0 (D)
かつ
g(0)<0又はg(π/2)>0 (E)
(C)(D)より
π/12-√3/2<a<π/12+√3/2
(E)より
-a+1<0又は-a-1<0
∴-1<a
よって求めるaの値の範囲は
π/12-√3/2<a<π/12+√3/2
となります。
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