| f(x)=(1/2)(x-a)^2+sinxcosx =(1/2)(x-a)^2+(1/2)sin2x より f'(x)=x-a+cos2x (A) ここで g(x)=f'(x) と置くとg(x)は 0< x <π/2 (B) において連続ですから、条件を満たすためには(B)におけるxの増加に従ったg(x)の符号変化に (i)+,-,+ (ii)-,+,- のいずれかが含まれる必要があります。 ここで g'(x)=1-2sin2x ですからg(x)は(B)において x=π/12のとき極大値π/12-a+√3/2 x=5π/12のとき極小値π/12-a-√3/2 を取ることが分かります。よって条件を満たすためには π/12-a+√3/2>0 (C) かつ π/12-a-√3/2<0 (D) かつ g(0)<0又はg(π/2)>0 (E)
(C)(D)より π/12-√3/2<a<π/12+√3/2 (E)より -a+1<0又は-a-1<0 ∴-1<a よって求めるaの値の範囲は π/12-√3/2<a<π/12+√3/2 となります。
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