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■9414 / inTopicNo.1)

　NO TITLE

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□投稿者/ 鬼灯一般人(1回)-(2006/02/21(Tue) 21:36:47)

(1)二項定理を利用して(1+(1/√n))^n > √n(n=2,3,…)が成り立つことを示せ。
(2)(1)を利用してlim[n→∞]([n]√n)を求めよ。

よくわからないのでお願いします。

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■9417 / inTopicNo.2)

　Re[1]: NO TITLE

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1232回)-(2006/02/21(Tue) 22:05:31)

(1)
(1+1/√n)^n
＝1^n+[n]C[1](1/√n)+・・・　(ここが二項定理)
＞1+n*(1/√n)
＞√n
(2)
n＞1ならn^(1/n)＞1であり、
また(1)より
(1+1/√n)^n＞√n
⇔n^(1/n)＜(1+1/√n)^2が成り立つので
n＞1に対して1＜n^(1/n)＜(1+1/√n)^2が得られる
lim[n→∞](1+1/√n)^2=1であるから、
ハサミウチの原理よりlim[n→∞]n^(1/n)=1

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