数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 極限 / Page: 0]

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■9388 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ TY 一般人(1回)-(2006/02/20(Mon) 23:18:05)

次の極限または無限級数の収束・発散を調べ、収束のとき極限値を求めよ。

(1)lim[n→∞](1/n){(1^2+2^2+3^2+…+n^2)/(n+2) - (n(n+1))/3}
(2)lim[n→∞]{√(1+2+3+…(n+1)) - √(1+2+3+…+n)}
(3)lim[n→∞]{cos^(n)θ-sin^(n)θ}/{cos^(n)θ+sin^(n)θ}
(4)∑[n=1→∞]{2^(2n)+(-3)^n} / {(-5)^n}
(5)∑[n=1→∞]1 / {4n^(2)-1}
(6)∑[n=1→∞]1 / {√(n+1)+√(n)}

問題数が多いですが宿題が解けません。
誰か解いてくださいお願いします。

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■9409 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ X 大御所(384回)-(2006/02/21(Tue) 19:10:56)

2006/02/21(Tue) 19:12:40 編集(投稿者)

ヒントを

(1)(2)
∑の公式は押さえていますか？。
∑[k=1～n]k=(1/2)n(n+1)
∑[k=1～n]k^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
を用いて式を変形してみましょう。

(3)
lim[n→∞]{cos^(n)θ-sin^(n)θ}/{cos^(n)θ+sin^(n)θ}
=lim[n→∞]{1-sin^(n)θ/cos^(n)θ}/{1+sin^(n)θ/cos^(n)θ}
=lim[n→∞]{1-tan^(n)θ}/{1+tan^(n)θ}
後は
|tanθ|<1
tanθ=1
tanθ=-1
|tanθ|>1
の４通りについて場合分けしましょう。

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■9411 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ X 大御所(385回)-(2006/02/21(Tue) 19:22:02)

(4)(5)(6)
無限級数の定義
∑[n=1→∞]a[n]=lim[n→∞]∑[k=1→n]a[k]
は押さえていますか？。
まず
∑[k=1→n]a[k]
を求めることを考えましょう。

(4)
∑[n=1→∞]{2^(2n)+(-3)^n} / {(-5)^n}
=∑[n=1→∞]{4^n+(-3)^n} / {(-5)^n}
=∑[n=1→∞]{(-4/5)^n+(3/5)^n}
ここで
∑[k=1→n]{(-4/5)^k+(3/5)^k}
=∑[k=1→n](-4/5)^k+∑[k=1→n](3/5)^k　(等比数列の和になっています。)
=…
ですから…。

(5)
∑[n=1→∞]1 / {4n^(2)-1}
=∑[n=1→∞]1 / {(2n-1)(2n+1)}
=∑[n=1→∞](1/2){1/(2n-1)-1/(2n+1)}
ここで
=∑[k=1→n](1/2){1/(2n-1)-1/(2n+1)}
=…
ですから…。

(6)
1 / {√(n+1)+√(n)}
の分母を有理化してみましょう。
後の処理は(5)の場合と同じです。

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