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■9273 / inTopicNo.1)  NO TITLE
  
□投稿者/ ひろた 一般人(1回)-(2006/02/18(Sat) 23:06:40)
    lim[n→∞](a_n+1→a_n)=0ならば数列a_nは収束する。という命題は真か偽か。真なら証明し、偽なら例を挙げて理由を説明せよ。
    という問題なのですが、どう解けばいいのか分かりません。
    解説までしていただけるとうれしいです。お願いします。
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■9281 / inTopicNo.2)  Re[1]: NO TITLE
□投稿者/ sp@rk 一般人(2回)-(2006/02/19(Sun) 09:40:30)
    No9273に返信(ひろたさんの記事)
    > lim[n→∞](a_n+1-a_n)=0ならば数列a_nは収束する。という命題は真か偽か。
    > 真なら証明し、偽なら例を挙げて理由を説明せよ。
    結論からいうと、この命題は「偽」です。反例はいろいろありますが、ようは「a_nが収束しなくて、a_{n+1}-a_n→0(n→0)」となるものを(1つでも)見つけてくればいいわけです。例えば、a_n=nなどがそうです。

    ちなみに、逆の命題「数列a_nは収束すれば、数列a_nは収束する」は「真」です。
    α=lim[n→∞]a_nとおくと、lim[n→∞]a_{n+1}=αなので、
    lim[n→∞](a_{n+1}-a_n)=lim[n→∞]((a_{n+1}-α)-(a_n-α))
    =lim[n→∞](a_{n+1}-α)-lim[n→∞](a_n-α)=0-0=0
    と証明できます。

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■9282 / inTopicNo.3)  Re[2]: NO TITLE
□投稿者/ ひろた 一般人(2回)-(2006/02/19(Sun) 09:49:34)
    No9281に返信(sp@rkさんの記事)
    > α=lim[n→∞]a_nとおくと、lim[n→∞]a_{n+1}=αなので、
    > lim[n→∞](a_{n+1}-a_n)=lim[n→∞]((a_{n+1}-α)-(a_n-α))
    この変形がよく分かりません。すみませんが教えてください。
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■9283 / inTopicNo.4)  Re[3]: NO TITLE
□投稿者/ sp@rk 一般人(3回)-(2006/02/19(Sun) 10:32:19)
    > α=lim[n→∞]a_nとおくと、lim[n→∞]a_{n+1}=αなので、
    > lim[n→∞](a_{n+1}-a_n)=lim[n→∞]((a_{n+1}-α)-(a_n-α))
    > この変形がよく分かりません。すみませんが教えてください。
    わかりにくいのであれば、先に、(a_{n+1}-α)-(a_n-α)を計算して下さい。
    (a_{n+1}-α)-(a_n-α)=a_{n+1}-α-a_n+α=a_{n+1}-a_n
    となって、結局、a_{n+1}-a_nを変形しているだけです。
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