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Re[1]: NO TITLE
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□投稿者/ sp@rk 一般人(2回)-(2006/02/19(Sun) 09:40:30)
 | ■No9273に返信(ひろたさんの記事)
> lim[n→∞](a_n+1-a_n)=0ならば数列a_nは収束する。という命題は真か偽か。
> 真なら証明し、偽なら例を挙げて理由を説明せよ。
結論からいうと、この命題は「偽」です。反例はいろいろありますが、ようは「a_nが収束しなくて、a_{n+1}-a_n→0(n→0)」となるものを（1つでも）見つけてくればいいわけです。例えば、a_n=nなどがそうです。
ちなみに、逆の命題「数列a_nは収束すれば、数列a_nは収束する」は「真」です。
α=lim[n→∞]a_nとおくと、lim[n→∞]a_{n+1}=αなので、
lim[n→∞](a_{n+1}-a_n)=lim[n→∞]((a_{n+1}-α)-(a_n-α))
=lim[n→∞](a_{n+1}-α)-lim[n→∞](a_n-α)=0-0=0
と証明できます。
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