数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 素数の性質 / Page: 0]

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■8648 / inTopicNo.1)

　素数の性質

□投稿者/ satsuma 付き人(60回)-(2006/02/05(Sun) 23:32:19)

素数の性質についての質問です。
2を除くすべての素数について、素数の二乗引く1は８の倍数になるのですが、
これをどのように証明したらよいのでしょうか。

確かに
3^2 - 1=8
5^2 - 1=24
7^2 - 1=48
101^2 - 1=10200
と、8の倍数になるのですが、どのように証明したらよいか分かりません。教えてください。
よろしくお願いいたします。

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■8650 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 素数の性質

▲▼■

□投稿者/ リストっちファミリー(171回)-(2006/02/05(Sun) 23:35:04)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No8648に返信(satsumaさんの記事)
> 素数の性質についての質問です。
> 2を除くすべての素数について、素数の二乗引く1は８の倍数になるのですが、
> これをどのように証明したらよいのでしょうか。
>
> 確かに
> 3^2 - 1=8
> 5^2 - 1=24
> 7^2 - 1=48
> 101^2 - 1=10200
> と、8の倍数になるのですが、どのように証明したらよいか分かりません。教えてください。
> よろしくお願いいたします。

素数は，奇数なので，8で割ったあまりは，1か3か5か7ですね．
すると，2以外の素数はすべて8m+1,8m+3,8m+5,8m+7とかけます（mは整数）．
これらを2乗すると謎が解けますよ．

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■8652 / inTopicNo.3)

　参考

▲▼■

□投稿者/ らすかるベテラン(235回)-(2006/02/05(Sun) 23:42:08)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

4m±1 と考えてもいいですね。

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■8676 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 参考

▲▼■

□投稿者/ satsuma 付き人(61回)-(2006/02/06(Mon) 18:58:07)

リストっちさん、らすかるさんどうもありがとうございます。
リストっちさんの、8m+1,8m+3,8m+5,8m+7であらわす意味はわかったのですが、
らすかるさんの4m±1とはどういう点からもってきた式なのでしょうか。ご教授お願いします。

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■8679 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 素数の性質

▲▼■

□投稿者/ らすかるベテラン(238回)-(2006/02/06(Mon) 20:13:35)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

奇(素)数は8m+1,8m+3,8m+5,8m+7と表せるのと同様、4m+1,4m+3とも
表せます。そして、4m+3は4m-1と同じことですから、4m±1と
まとめて書けます。
(4m±1)^2=16m^2±8m+1=8(2m^2±1)+1
となり、これでも任意の奇(素)数を2乗して8で割ると余りが1に
なることがわかりますね。

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■8681 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 素数の性質

▲▼■

□投稿者/ satsuma 付き人(62回)-(2006/02/06(Mon) 20:45:07)

なるほど。。今までぼやっとしていたものがクリアーになりました。
ちょっと感動です。。
本当にありがとうございました。

解決済み!

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