数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 等比数列２（S) / Page: 0]

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■8559 / inTopicNo.1)

　等比数列２（S)

□投稿者/ S山口軍団(106回)-(2006/02/04(Sat) 19:34:03)

こんにちは。

∠XOY=30°とする。∠XOYの二辺　OX、OY上にそれぞれ点A_1,A_2,A_3,...
及び点B_1,B_2,B_3,..を
OA_1=2,OB_1=√3；
A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3,...はすべてOYに垂直;
B_1A_2,B_2A_3,B_3A_4,...はすべてOXに垂直であるようにとり、
△A_nB_nA_(n+1)の面積をa_nとする。

1）数列{a_n}はどんな数列か。

2)　数列{a_n}の、初項から第n項までの和を求めよ。

問題が複雑で、よく分かりません。
ご教授おねがいします。

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■8791 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 等比数列２（S)

▲▼■

□投稿者/ 白拓ファミリー(172回)-(2006/02/08(Wed) 12:55:48)

> ∠XOY=30°とする。∠XOYの二辺　OX、OY上にそれぞれ点A_1,A_2,A_3,...
> 及び点B_1,B_2,B_3,..を
> OA_1=2,OB_1=√3；
> A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3,...はすべてOYに垂直;
> B_1A_2,B_2A_3,B_3A_4,...はすべてOXに垂直であるようにとり、

これらが成り立つようなX,Yはとれないので
OA_1=√3,OB_1=2；として回答します。

> 1）数列{a_n}はどんな数列か。
a_n=(√3/6)((4/3)^2)^(n-1)=(√3/6)(4/3)^(2n-2)
> 2)　数列{a_n}の、初項から第n項までの和
　(=S_nとする)

S_n=Σ[k=1→n]an=(√3/6)Σ[k=1→n]((4/3)^2)^(n-1)
=(√3/6){(16/9)^n-1}/{(16/9)-1}=(3√3/14){(4/3)^(2n)-1}

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■8805 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 等比数列２（S)

▲▼■

□投稿者/ S山口軍団(117回)-(2006/02/08(Wed) 16:12:35)

ありがとうございました。

>>∠XOY=30°とする。∠XOYの二辺　OX、OY上にそれぞれ点A_1,A_2,A_3,...
>>及び点B_1,B_2,B_3,..を
>>OA_1=2,OB_1=√3；
>>A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3,...はすべてOYに垂直;
>>B_1A_2,B_2A_3,B_3A_4,...はすべてOXに垂直であるようにとり、
>
> これらが成り立つようなX,Yはとれないので
> OA_1=√3,OB_1=2；として回答します。
>
>>1）数列{a_n}はどんな数列か。
> a_n=(√3/6)((4/3)^2)^(n-1)=(√3/6)(4/3)^(2n-2)

(√3/6)((4/3)^2)^(n-1)というのは、どこからきたんでしょうか？
> OA_1=√3,OB_1=2；として回答します。は理解できたんですが、そこから
どうきたのかが分かりません。
おねがいします。

2）のほうは1）が理解できてから質問させてもらおうと思います。

おねがいします。

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■8894 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 等比数列２（S)

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□投稿者/ 迷える子羊付き人(87回)-(2006/02/10(Fri) 01:44:34)

△A_nB_nA_(n+1)は、底辺OA_(n+1)-OA_n　高さA_nB_nの３角形である。

今、OA_1=√3
　　 OA_2=4/√3
　　 OA_3=16/3√3　であるから、OA_n=√3(4/3)^(n-1)
よって、OA_(n+1)-OA_n=√3/3(4/3)^(n-1)

A_1B_1=1
A_2B_2=4/3
A_3B_3=16/9　であるから、A_nB_n=(4/3)^(n-1)

以上より、a_n={OA_(n+1)-OA_n}(A_nB_n)/2
　　　　　　　　=√3/3(4/3)^(n-1)(4/3)^(n-1)/2
　　　　　　　 =・・・・
　　　　　　　　=√3/6(4/3)^(2n-2)
よって数列{a_n}は、一般項が　a_n=√3/6(4/3)^(2n-2)で表される数列である。

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■9095 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 等比数列２（S)

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□投稿者/ S山口軍団(125回)-(2006/02/15(Wed) 16:01:40)

ありがとうございました

> △A_nB_nA_(n+1)は、底辺OA_(n+1)-OA_n　高さA_nB_nの３角形である。
>
> 今、OA_1=√3
> 　　 OA_2=4/√3
どうして4/√3になるんでしょうか？
> 　　 OA_3=16/3√3　であるから、OA_n=√3(4/3)^(n-1)
ここも分かりません。
すみません、最初からつまってしまって・・。

おねがいします。

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■9128 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 等比数列２（S)

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□投稿者/ 迷える子羊付き人(95回)-(2006/02/16(Thu) 02:15:09)

ちゃんと図を描きましたか？

△OA_1B_1は、OA_1=√3、OB_1=2、A_1B_1=1
△OB_1A_2は、OA_2=4/√3、OB_1=2、A_2B_1=2/√3
△OA_2B_2は、OB_2=8/3、OA_2=4/√3、A_2B_2=4/3
△OB_2A_3は、OA_3=16/(3√3)、OB_2=8/3、A_3B_2=8/(3√3)
となっています。

答案としては、もっと一般的に、△OA_nB_nと△OB_nA_(n+1)で考えて
OA_n　と　　OA_(n+1)　との関係式を出して漸化式を解いて　a_n　を求めるんですよ。よろしいか？

ちなみに問題自体は、■No8791で白拓さんがおっしゃった理由により、あなたが、■No8559で書いた問題ではなくなっていますよ？

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■9213 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 等比数列２（S)

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□投稿者/ S山口軍団(136回)-(2006/02/17(Fri) 17:03:54)

ありがとうございました。
図を描いて、参考書と迷える子羊先生の書き込みを何度も読んでいて
参考書のほうの式に疑問を持ったんですが

> ∠XOY=30°とする。∠XOYの二辺　OX、OY上にそれぞれ点A_1,A_2,A_3,...
> 及び点B_1,B_2,B_3,..を
> OA_1=2,OB_1=√3；
> A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3,...はすべてOYに垂直;
> B_1A_2,B_2A_3,B_3A_4,...はすべてOXに垂直であるようにとり、
> △A_nB_nA_(n+1)の面積をa_nとする。

とするとき、

> 1）数列{a_n}はどんな数列か。
の問題で

A_(k+1)B_(k+1)=(√3/2)A_(k+1)B_k
A_(k+1)B_k=(√3/2)A_kB_k
A_(k+1)B_(k+1)=(√3/2)^(2)A_kB_k=(3/4)A_kB_k

を理解できるようになりました。
しかし、この次、

よって a_k+1=(3/4)^(2)a_k=(9/16)a_k

と式が作られています。
どうして(3/4)を二乗するのでしょうか？
またどうしてa_k+1からつくって、a_kからつくらないんでしょうか？

初項の出し方は分かりましたが、上の公比の出し方がいまいち分かりません。

おねがいします。

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■9240 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 等比数列２（S)

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□投稿者/ 迷える子羊軍団(100回)-(2006/02/18(Sat) 00:39:29)

> A_(k+1)B_(k+1)=(√3/2)A_(k+1)B_k
> A_(k+1)B_k=(√3/2)A_kB_k
> A_(k+1)B_(k+1)=(√3/2)^(2)A_kB_k=(3/4)A_kB_k
>
> を理解できるようになりました。
> しかし、この次、
>
> よって a_(k+1)=(3/4)^(2)a_k=(9/16)a_k
>
> と式が作られています。
> どうして(3/4)を二乗するのでしょうか？
ずばり、面積比は「辺の比の平方」だから。今、△A_nB_nA_(n-1)と△A_(n+1)B_(n+1)A_nの辺の比が
A_nB_n：A_(n+1)B_(n+1)=1：(4/3)となっている。
> またどうしてa_(k+1)からつくって、a_kからつくらないんでしょうか？
そっちの方が考えやすいからだと思います。けどこの場合、ドッチでも大差ないと思います。まぁ、自分が考えやすい方で考えたらいいと思います。

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■9448 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 等比数列２（S)

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□投稿者/ S山口軍団(145回)-(2006/02/22(Wed) 12:20:25)

ありがとうございました。
ようやく理解できました。
面積比は辺の比の平方っていうのはまったく知らなかったです。
覚えておきます。
またなにかあったらおねがいします。
では。

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■9449 / inTopicNo.10)

　Re[3]: 等比数列２（S)

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□投稿者/ S山口軍団(147回)-(2006/02/22(Wed) 12:20:50)

ありがとうございました。
ようやく理解できました。
面積比は辺の比の平方っていうのはまったく知らなかったです。
覚えておきます。
またなにかあったらおねがいします。
では

解決済み!

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