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■8465 / inTopicNo.1) 　関数の連続性（S)
  ▼■
□投稿者/ S山口 付き人(94回)-(2006/02/02(Thu) 22:34:08)
    実数aに対してaを越えない最大の整数を[a]とかく。
    このとき、次の関数の連続性を調べよ。

    1)f(x)=[x](-1<x<1)

    2)f(x)=[sinx](0≦x≦π)

    いまいち連続関数と言うのが分かっていません。
    二つのグラフが接するかを調べているんでしょうか？
    詳しく教えてもらえれば幸いです。

    おねがいします。
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■8487 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ せら 一般人(2回)-(2006/02/03(Fri) 10:12:46)
    （１）（２）は別々の問題ですよ，一緒くたに考えてはいけません。
    「連続」ってのは，直感的に言うと「グラフがつながってるかどうか」ということです。
    与えられた区間でグラフが１本の曲線（直線のときもありますが）になってるときは「連続」，どこかで切れていたら「不連続」です。

    まずは，この観点から連続性を予想してみてください。
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■8488 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ S山口 付き人(95回)-(2006/02/03(Fri) 13:33:27)
    ありがとうございました

    > 1)f(x)=[x](-1<x<1)

    これはx=1とかそういうグラフのことでしょうか？
    xの範囲内に二つのグラフがあって、それが端と端でくっつきあっていたら
    連続している、ということですよね？
    この式だと、方程式が分かりにくいんですが、−１から１の範囲内は
    どういった状況になっているんでしょうか？

    > 2)f(x)=[sinx](0≦x≦π)

    これは０から180度までってことだから、連続してますよね。

    おねがいします。
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■8492 / inTopicNo.4) 　Re[2]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ せら 一般人(3回)-(2006/02/03(Fri) 14:35:00)
    2006/02/03(Fri) 14:55:55 編集(投稿者)
    2006/02/03(Fri) 14:55:49 編集(投稿者)

    まだちょっとうまく読み取っていただけてないようですね。
    たとえば，ｙ＝ｘのグラフを考えてみてくださいね。これは、単なる直線ですから，連続です。
    次に，ｙ＝1/x　のグラフを考えてみてください。これは，ｘ＝０のところで定義されておらず，２つの曲線に分かれていますから，「ｘ＝０において不連続｣です。

    今回の問題では，与えられた関数に対してｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを考えていきます。たとえば
    >>1)f(x)=[x](-1<x<1)
    では、ｙ＝[ｘ]のグラフを考えます。

    > xの範囲内に二つのグラフがあって、それが端と端でくっつきあっていたら
    > 連続している、ということですよね？

    先に書いたとおり，この関数のグラフをかいてみて，それがつながっているか，ちぎれているかで判断しましょう。
    ＃１つの関数に対応する｢グラフ｣は一つです。

    > この式だと、方程式が分かりにくいんですが、−１から１の範囲内は
    > どういった状況になっているんでしょうか？

    それを考えるのがこの問題のコアです。
    ”[■]”の記号の意味を考えてみてくださいね。
    たとえば，ｘ＝−０．１だったら？ｘ＝０だったら？ｘ＝０．１だったら？ｘ＝０．９９９だったら？

    >
    >>2)f(x)=[sinx](0≦x≦π)
    >
    > これは０から180度までってことだから、連続してますよね。
    >
    こちらも，”[■]”の記号の意味をもう一度考えてみてください。
    結論だけ言うと，連続ではありません。

    グラフをかく，ということですから，まずはいろんなｘに対して，関数がどんな値になるか試してみましょう。
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■8552 / inTopicNo.5) 　Re[3]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ S山口 軍団(100回)-(2006/02/04(Sat) 18:48:54)
    ありがとうございました。
    [■]っていう記号ははじめてみるんですが、どういう意味なんでしょう？
    絶対値とは違うみたいですし。

    1)f(x)=[x](-1<x<1)

    x=0.5で考えてみると、y=0.5・・・。x=0ならy=0・・・。-1から1までの間、一直線のように感じますので、連続している、かな？
    右極限、左極限が苦手なんですが、lim[x→0+0]とかいろいろ考えるんでしょうか？
    範囲が-1から1までで狭いから、連続しているような気がするんですが。。（汗

    2)f(x)=[sinx](0≦x≦π)

    連続ではないんですか？　
    sinxがどういうグラフを描くか、ちょっと分かりません・・。
    0°から１８０°までの間、式になってるから、連続してると思うんですが
    どう考えれば（式を出せば）いいんでしょうか？

    おねがいします。
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■8667 / inTopicNo.6) 　Re[4]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ せら 一般人(4回)-(2006/02/06(Mon) 09:46:07)
    2006/02/06(Mon) 11:12:43 編集(投稿者)

    ＞[]っていう記号ははじめてみるんですが、どういう意味なんでしょう？
    ＞＞実数aに対してaを越えない最大の整数を[a]とかく。
    あなたが提示した問題の最初に書いてあることなのですが。

    ちなみに，y=xもy=sinxも連続です。イメージはうまくできているようですので，上の定義に沿って今回の関数を考えていきましょう。
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■8801 / inTopicNo.7) 　Re[5]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ S山口 軍団(114回)-(2006/02/08(Wed) 15:51:25)
    ありがとうございました。

    ＞ちなみに，y=xもy=sinxも連続です。イメージはうまくできているようですので，上の定義に沿って今回の関数を考えていきましょう。

    連続しているのに、不連続が答えなんですか？
    むう、難しいですね。

    1）は実数ｘに対してｘを越えない最大の整数を[x]とする、ということですね。
    この文章がうまく理解できません。グラフを書いてみると、見事に一直線なんですが、どうしたらいいんでしょう。。（汗

    2）もやはり分かりません。

    もうちょっとヒントもらえないでしょうか？
    おねがいします。

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■8821 / inTopicNo.8) 　Re[6]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ そる。 一般人(1回)-(2006/02/08(Wed) 20:07:27)
    > 連続しているのに、不連続が答えなんですか？

    ｙ＝ｘとｙ＝［ｘ］は別の関数なのですよ。
    ｙ＝ｘとｙ＝｜ｘ｜は別の関数でしょう？

    >
    > 1）は実数ｘに対してｘを越えない最大の整数を[x]とする、ということですね。

    ゆっくり読んでくださいね。
    実数ｘに対してｘを越えない最大の「整数」を[x]とする
    んですから、たとえば
    ［０］は０を超えない最大の整数です。
    −１は０を超えてない、０も０を超えてない、１は０を超える。
    なので［０］＝０です。
    同様に考えると、［０．１］は０．１を超えない最大の整数なので０。
    ［−０．１］は−０．１を超えない最大の整数なので−１です。
    さて、そうすると、ｙ＝［ｘ］のグラフって？

    >
    > 2）もやはり分かりません。
    >
    ｘのところがｓｉｎｘになってますけど、考え方は同じです。
    例えば、
    ｘ＝０°ならｓｉｎｘ＝０ですから、［ｓｉｎ０°］＝［０］＝０。
    ｘ＝３０°ならｓｉｎｘ＝（１／２）＝０．５ですから、［ｓｉｎ３０°］＝［０．５］＝０。
    さて、０°≦ｘ≦１８０°のときのｙ＝［ｓｉｎｘ］のグラフは？
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■9093 / inTopicNo.9) 　Re[7]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ S山口 軍団(123回)-(2006/02/15(Wed) 15:55:35)
    ありがとうございました。

    > ［０］は０を超えない最大の整数です。
    > −１は０を超えてない、０も０を超えてない、１は０を超える。
    > なので［０］＝０です。
    > 同様に考えると、［０．１］は０．１を超えない最大の整数なので０。
    > ［−０．１］は−０．１を超えない最大の整数なので−１です。
    > さて、そうすると、ｙ＝［ｘ］のグラフって？

    -1から-0.1までは全部-1ですよね？
    0から0.9までが0で、だから、これは0で不連続？
    詳しい式の書き方は分かりませんが、ぼんやりとこんなの出ました。
    どうでしょうか？　正解に近づいてるでしょうか？

    >>
    > ｘのところがｓｉｎｘになってますけど、考え方は同じです。
    > 例えば、
    > ｘ＝０°ならｓｉｎｘ＝０ですから、［ｓｉｎ０°］＝［０］＝０。
    > ｘ＝３０°ならｓｉｎｘ＝（１／２）＝０．５ですから、［ｓｉｎ３０°］＝［０．５］＝０。
    > さて、０°≦ｘ≦１８０°のときのｙ＝［ｓｉｎｘ］のグラフは？

    sin0からsin89までが0でsin90が1
    sin91からsin180までがやっぱり０。
    ということで、sin90のところで、不連続、ってことかな？
    あってるかな

    おねがいします。
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■9106 / inTopicNo.10) 　Re[8]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ せら 一般人(7回)-(2006/02/15(Wed) 18:44:21)
    2006/02/16(Thu) 09:06:39 編集(投稿者)

    両方ともＯＫです。
    グラフのイメージも（漠然と）できているようですね。それぐらいでも構わないと思いますよ。

    さて、では最後に「式で書く書き方がわからない」ということなので，もうすこしきちんと連続性の定義を述べておきましょう。
    ＃これは今の段階では完全に理解できなくても構いませんよ。
    ＃グラフのイメージと重ねながら読んでください。

    関数ｆ（ｘ）が連続である，ということは数式的には極限を用いて定義されます。
    ｆ（ｘ）がｘ＝ａで連続，というのは
    lim[ｘ→a＋０]ｆ（ｘ）＝lim[ｘ→a−０]＝f(a）
    が成り立っていることを言います。
    グラフで言うと，｢右のほうから近づけた先｣と｢左のほうから近づけた先｣が同じで，最後の「＝f（a）」もあわせると｢グラフが途切れていない｣というさっきまで考えていたイメージと合いますよね。
    本問だと，（１）なら
    lim[ｘ→＋０][ｘ]＝０
    lim[ｘ→−０][ｘ]＝−１
    なので、明らかに途切れているｘ＝０のところで不連続。
    （２）なら
    lim[ｘ→９０°＋０][sinｘ]＝０
    lim[ｘ→９０°−０][sinｘ]＝０
    で，一見つながってるように見えるんですが，[sin９０°]＝１なので，lim[ｘ→９０°＋０][sinｘ]≠[sin９０°]となり，ｘ＝９０°のところで不連続。１点だけ浮いてるんですよね。

    式で書くならこのようになります。
    いかがでしょうか？

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■9205 / inTopicNo.11) 　Re[9]: 関数の連続性（S)
□投稿者/ S山口 軍団(133回)-(2006/02/17(Fri) 16:13:58)
    ありがとうございました。
    式で書こうとすればなかなか難しいですね。。
    でも最初のころより全然わかるようになりました。
    この問題はここまでで一応終わりかな。。分かるようになった、までは厳しいけど、イメージはできるようになりましたものね。
    ありがとうございました。
    またなにかあったらおねがいします。
    それでは。
解決済み!
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