| > e*x=Σ(j=0、∞)1/j!x*j を使う解法は判りませんが、数学的帰納法を使ってもできますので、代わりに載せておきます。
I(k)=∫[1→n]{e^(-x)}(x^k)dx と置きます。 (i)k=1のとき I(k)=∫[1→n]{e^(-x)}xdx =[-{e^(-x)}x][1→n]+∫[1→n]{e^(-x)}dx =1/e-ne^(-n)+1/e-e^(-n)→2/e (n→∞) となり成立。 (注)lim[n→∞]ne^(-n)=0(証明略) (ii)k=j(j:自然数)のとき問題の命題が成立するとします。 つまり I(j)=∫[1→n]{e^(-x)}(x^j)dx がn→∞のとき収束する (A) と仮定します。 k=j+1のとき I(k)=∫[1→n]{e^(-x)}{x^(j+1)}dx =[-{e^(-x)}{x^(j+1)}][1→n]+∫[1→n]{e^(-x)}(x^j)dx =1/e-{n^(j+1)}e^(-n)+I(j) (B) ここで lim[n→∞]{n^(j+1)}e^(-n)=0(証明略) ですから(B)はn→∞のとき収束します。 よって問題の命題はk=j+1のときも成立。
(証明終わり)
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