□投稿者/ X 大御所(359回)-(2006/01/25(Wed) 17:41:52)
 | > e*x=Σ（ｊ＝０、∞）１/j!x*j
を使う解法は判りませんが、数学的帰納法を使ってもできますので、代わりに載せておきます。
I(k)=∫[1→n]{e^(-x)}(x^k)dx
と置きます。
(i)k=1のとき
I(k)=∫[1→n]{e^(-x)}xdx
=[-{e^(-x)}x][1→n]+∫[1→n]{e^(-x)}dx
=1/e-ne^(-n)+1/e-e^(-n)→2/e (n→∞)
となり成立。
（注）lim[n→∞]ne^(-n)=0（証明略）
(ii)k=j(j:自然数)のとき問題の命題が成立するとします。
つまり
I(j)=∫[1→n]{e^(-x)}(x^j)dx
がn→∞のとき収束する (A)
と仮定します。
k=j+1のとき
I(k)=∫[1→n]{e^(-x)}{x^(j+1)}dx
=[-{e^(-x)}{x^(j+1)}][1→n]+∫[1→n]{e^(-x)}(x^j)dx
=1/e-{n^(j+1)}e^(-n)+I(j) (B)
ここで
lim[n→∞]{n^(j+1)}e^(-n)=0（証明略）
ですから(B)はn→∞のとき収束します。
よって問題の命題はk=j+1のときも成立。
（証明終わり）
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