数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: GCM とＬＣＭ / Page: 0]

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■7687 / inTopicNo.1)

　GCM とＬＣＭ

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□投稿者/ kｍ一般人(3回)-(2006/01/15(Sun) 17:39:50)

次の各組の最大公約数と最小公倍数を求めよ
ｘ３乗＋２ｘ２乗＋２ｘ＋１　ｘ４乗＋２ｘ３乗＋４ｘ２乗＋３ｘ＋２
次の各組の最大公約数を求めよ
４Ｘ２乗－４Ｘ３乗＋２Ｘ－１　２Ｘ３乗－６Ｘ２乗＋５Ｘ－２
２問です。どうかよろしくお願いします。

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■7688 / inTopicNo.2)

　Re[1]: GCM とＬＣＭ

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□投稿者/ らすかるファミリー(183回)-(2006/01/15(Sun) 17:53:38)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

x^3+2x^2+2x+1=(x+1)(x^2+x+1)
x^4+2x^3+4x^2+3x+2=(x^2+x+1)(x^2+x+2)
∴最大公約数は x^2+x+1、最小公倍数は
(x+1)(x^2+x+1)(x^2+x+2)=x^5+3x^4+6x^3+7x^2+5x+2

4x^2-4x^3+2x-1 は因数分解出来ない。
2x^3-6x^2+5x-2=(x-2)(2x^2-2x+1)
従って最大公約数は 1

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■7689 / inTopicNo.3)

　Re[2]: GCM とＬＣＭ

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□投稿者/ kｍ一般人(4回)-(2006/01/15(Sun) 17:59:07)

どのようにして x^4+2x^3+4x^2+3x+2=(x^2+x+1)(x^2+x+2)になるんですか？
あと（２）の答えは２ｘ２乗－２ｘ＋１になっているんですが。。。

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■7691 / inTopicNo.4)

　Re[3]: GCM とＬＣＭ

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□投稿者/ らすかるファミリー(184回)-(2006/01/15(Sun) 18:38:11)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2006/01/15(Sun) 19:53:18 編集(投稿者)

■No7689に返信(kｍさんの記事)
> どのようにして x^4+2x^3+4x^2+3x+2=(x^2+x+1)(x^2+x+2)になるんですか？
最大公約数を求める問題なので、(x+1)か(x^2+x+1)のどちらかでは
割り切れるだろうと考え、両方とも割ってみました。

> あと（２）の答えは２ｘ２乗－２ｘ＋１になっているんですが。。。
(2)は、答が2x^2-2x+1 になるのなら、元の問題が間違いか、
あるいは問題を写し間違えているかのどちらかのはずです。
4x^2-4x^3+2x-1 は 2x^2-2x+1 で割り切れません。

# 4x^2の後に4x^3があって降べきの順になっていないところが怪しいですが…

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■7693 / inTopicNo.5)

　Re[4]: GCM とＬＣＭ

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□投稿者/ K.M. 一般人(2回)-(2006/01/15(Sun) 20:32:17)

2006/01/15(Sun) 20:33:47 編集(投稿者)
■No7691に返信(らすかるさんの記事)
> 2006/01/15(Sun) 19:53:18 編集(投稿者)
>
> ■No7689に返信(kｍさんの記事)
> 4x^2-4x^3+2x-1 は 2x^2-2x+1 で割り切れません。
>
質問者の答えを見て分かったが、問題が

4x^4-4x^3+2x-1 の誤りですね。

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■7694 / inTopicNo.6)

　Re[5]: GCM とＬＣＭ

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□投稿者/ らすかるファミリー(185回)-(2006/01/15(Sun) 21:50:16)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

では、式が 4x^4-4x^3+2x-1 とした場合の解答です。
2x^3-6x^2+5x-2 の方を (x-2)(2x^2-2x+1) と因数分解出来れば、
4x^4-4x^3+2x-1 を x-2 と 2x^2-2x+1 で割ってみれば
x-2 では割り切れず、2x^2-2x+1 で割り切れますので
最大公約数は 2x^2-2x+1 とわかります。

ユークリッドの互除法を使って次のようにすると、
因数分解せずに最大公約数が求められます。
4x^4-4x^3+2x-1　… (1)
2x^3-6x^2+5x-2　… (2)
(1)-(2)×2x = 8x^3-10x^2+6x-1　… (3)
(3)-(2)×4 = 14x^2-14x+7
係数を7で割って 2x^2-2x+1　… (4)
(2)-(4)×x = -4x^2+4x-2
係数を-2で割って 2x^2-2x+1　… (5)
(4)と(5)は等しいので、これが最大公約数。

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■7695 / inTopicNo.7)

　Re[6]: GCM とＬＣＭ

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□投稿者/ kｍ一般人(5回)-(2006/01/15(Sun) 22:11:02)

皆様申し訳ございませんでした。おっしゃってくれたとおり質問がまちがっておりました。質問に答えてくれた方、誤りを指摘してくれた方本当にありがとうございました。

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