数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 積分 / Page: 0]

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■680 / inTopicNo.1)

　積分

□投稿者/ トモヤ一般人(1回)-(2005/05/18(Wed) 00:03:03)

いま、積分で苦しんでます；
(1)∫sin^2(x)/{1+sin^2(x)} dx

(2)∫1/√(x-a)(b-x)dx （ルートは、(x-a)(b-x)すべてにかかってます）

(3)∫x^2/√(1+x-x^2)dx （ルートは、(1+x-x^2)すべてにかかってます）

ご指導お願いします。

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■682 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分

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□投稿者/ 豆付き人(69回)-(2005/05/18(Wed) 09:30:06)

最後までやっていませんが方針のみ．
(1)tan(x/2)=tとおいて，部分分数分解
(2)分母の√内はばらして平方完成∫dt/√(1-t^2)の形に
(3)与式=(-(x/2)(-2x+1)-(1/4)(-2x+1)+1/4)/√(1+x-x^2)
　　第１項は部分積分
　　第2項はそのまま積分
　　第3項は(2)と同じタイプ

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■683 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分

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□投稿者/ 豆付き人(70回)-(2005/05/18(Wed) 11:30:45)

(3)の分子は順番に係数を合わせこんだので長くなりましたが，2度手間ですから，
分子=-(x/2+1/4)(-2x+1)+1/4としておいたほうがいいですね．
第１項は部分積分と通常積分
第２項は(2)と同じタイプ

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■694 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 積分

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□投稿者/ トモヤ一般人(2回)-(2005/05/18(Wed) 22:32:11)

■No682に返信(豆さんの記事)
> 最後までやっていませんが方針のみ．
> (1)tan(x/2)=tとおいて，部分分数分解
> (2)分母の√内はばらして平方完成∫dt/√(1-t^2)の形に
> (3)与式=(-(x/2)(-2x+1)-(1/4)(-2x+1)+1/4)/√(1+x-x^2)
> 　　第１項は部分積分
> 　　第2項はそのまま積分
> 　　第3項は(2)と同じタイプ

まず（1）、その方法はすでに試しましたが、計算が正しければ、2∫1／(1+t^2)dxー2∫(1+t^2)／(t^4+6t^2+1)dxとなって、後者の分数の対処に困りました。
もうひとつ、∫dt/√(1-t^2)の形にというのは、定積分なら出来るんですが、不定積分では、どうしたらいいのか分かりません。

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■696 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 積分

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□投稿者/ 豆付き人(74回)-(2005/05/18(Wed) 23:15:05)

(1)は2乗だったから、tanx=tでよかったかも。罪滅ぼしに以下。
tanx=tとおくと、dx/(cosx)^2=dt　　1+t^2=1/(cosx)^2
(sinx)^2/(1+(sinx)^2)=(1-(cosx)^2)/(2-(cosx)^2)=t^2/(1+2t^2)
よって、与式=∫t^2dt/((1+2t^2)(1+t^2)=∫dt/(1+t^2)-∫dt(1+2t^2)
これで、あとは大丈夫ですね。

(2)1/√(1-x^2)の積分は公式通りでarcsinxでいいのでは？

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■699 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 積分

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□投稿者/ 豆付き人(75回)-(2005/05/18(Wed) 23:24:17)

後付けですが、(1)は先に約分してから、置き換えたほうがすっきりですね。
与式=∫(1-1/(1+(sinx)^2)dx=x-∫dx/(1+(sinx)^2)
=x-∫dt/(1+2t^2)

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