数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: シグマと和について / Page: 0]

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■5788 / inTopicNo.1)

　シグマと和について

□投稿者/ 墨一般人(1回)-(2005/11/20(Sun) 18:56:26)

はじめまして。学校で出た宿題が歯が立たないので質問させて下さい。問題はいたってシンプルで、

1^k + 2^k + 3^k + ...... + n^k

（ここでkは整数です）の和を表す式を求めよ、という感じです。
宜しくお願いします。

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■5791 / inTopicNo.2)

　Re[1]: シグマと和について

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□投稿者/ だるまにおん大御所(661回)-(2005/11/20(Sun) 19:59:43)

らすかるサンという方のＨＰでk=0～20まで御覧になれます。ご参考までに。
→http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#2

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■5793 / inTopicNo.3)

　Re[1]: シグマと和について

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□投稿者/ らすかる付き人(56回)-(2005/11/20(Sun) 20:48:17)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

タイトルから考えるとシグマの使い方の問題のようですので、
この問題の解答は Σ[i=1～n]i^k ではないでしょうか。

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■5794 / inTopicNo.4)

　Re[2]: シグマと和について

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□投稿者/ だるまにおん大御所(663回)-(2005/11/20(Sun) 20:51:49)

あ、そういうことなんですかね。

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■5795 / inTopicNo.5)

　Re[3]: シグマと和について

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□投稿者/ 墨一般人(2回)-(2005/11/20(Sun) 20:56:31)

素早い回答有難うございます。
回答は恐らく1/2n(n+1)とかそういった形で出す必要があるのではないかと思います。宿題の内容を言いますと、まずはkが1の時の式をもとめて、kが2の時の式をもとめて・・・、といった感じでした。それでパターンとかそういったものを見つけて数学的帰納法で証明せよ、という内容です。ですからΣの記号は入ってこないと思います。

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■5796 / inTopicNo.6)

　Re[4]: シグマと和について

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□投稿者/ サボテン一般人(3回)-(2005/11/20(Sun) 21:33:19)

■No5795に返信(墨さんの記事)
シグマを使わずにあらわすことは可能ですが、ベルヌーイ数と呼ばれる数を用います。高校数学の内容を逸脱するような気がするのですが・・・。

Fn(k)=Σ_{m=1~n}m^kとします。
漸化式の作り方は
(m+1)^(k+1)-m^(k+1)=Σ{i=1～k}C_{k+1,i}m^iを用いて、m=1からnまで和をとります。(Cはコンビネーションです)

すると、左辺は(n+1)^(k+1)-1=Σ{i=1～k}C_{k+1,i}Fn(i)
F(k)=1/(k+1)[(n+1)^(k+1)-1-Σ_{i=0～k-1}C_{k+1,i}Fn(i)]
この式により順次F(k)を求めることができます。またF(k)のnの係数が大体ベルヌーイ数に相当します。

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■5797 / inTopicNo.7)

　（削除）

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□投稿者/ -(2005/11/20(Sun) 21:35:11)

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