数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 複素解析 / Page: 0]

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■49225 / inTopicNo.1)

　複素解析

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□投稿者/ konP 一般人(1回)-(2019/04/20(Sat) 18:11:47)

複素解析のrungeの定理の証明に使う補題についてです。写真をアップしますので、ご覧いただきたいです。証明の5行目あたりの「二つの開集合OとD-O」とありますが、なぜこの二つは開集合になるのでしょうか。よろしくおねがいします。

299×417 => 179×250

B109419C-0F44-4D1B-AE9E-7084BAB74A99.jpeg/61KB

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■49240 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素解析

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□投稿者/ muturajcp 軍団(134回)-(2019/04/21(Sun) 20:24:01)

O⊂D
O≠D
D-O≠φ
∂O=cl(O)-int(O)
もし
(∂O)∩D=φ
ならば
{cl(O)-int(O)}∩D=φ
cl(O)∩{-int(O)}∩D=φ
↓{-int(O)∩D}=D-int(O)だから
cl(O)∩{D-int(O)}=φ
↓int(O)⊂cl(O)だから
↓D-cl(O)⊂D-int(O)だから
int(O)∩{D-cl(O)}⊂cl(O)∩{D-int(O)}=φ
int(O)∩{D-cl(O)}=φ

D-[int(O)∪{D-cl(O)}]
=(D-int(O))∩[D-{D-cl(O)}]
=(D-int(O))∩D∩cl(O)
=D∩cl(O)∩{-int(O)}
=D∩(∂O)
=φ
だから
D=int(O)∪{D-cl(O)}⊂O∪(D-O)⊂D
だから
D=int(O)∪{D-cl(O)}=O∪(D-O)=D
だから
int(O)=OだからOは開
D-cl(O)=D-OだからD-Oは開

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■49241 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 複素解析

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□投稿者/ konP 一般人(4回)-(2019/04/21(Sun) 22:19:00)

質問したものです。初心者なもので変なこと聞いていたらすみませんが、回答またお願いします。

D-Oが開集合、を言うには、D∩∂D=φ、を言う必要は無いのでしょうか？

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■49242 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 複素解析

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□投稿者/ muturajcp 軍団(135回)-(2019/04/22(Mon) 05:15:21)

訂正します
Kは閉集合だから
C-Kは開集合だから
DはC-Kの1つの連結成分だから
DはC-Kの(閉)開集合となるから
D=(C-K)∩Gとなる開集合Gがあるから
Dは開集合となる
O⊂D
O≠D
D-O≠φ
∂O=cl(O)-int(O)
もし
(∂O)∩D=φ
ならば
{cl(O)-int(O)}∩D=φ
cl(O)∩{-int(O)}∩D=φ
↓{-int(O)∩D}=D-int(O)だから
cl(O)∩{D-int(O)}=φ
↓int(O)⊂cl(O)だから
↓D-cl(O)⊂D-int(O)だから
int(O)∩{D-cl(O)}⊂cl(O)∩{D-int(O)}=φ
int(O)∩{D-cl(O)}=φ

D-[int(O)∪{D-cl(O)}]
=(D-int(O))∩[D-{D-cl(O)}]
=(D-int(O))∩D∩cl(O)
=D∩cl(O)∩{-int(O)}
=D∩(∂O)
=φ

D=int(O)∪{D-cl(O)}⊂O∪(D-O)⊂D
だから
D=int(O)∪{D-cl(O)}=O∪(D-O)=D
だから
int(O)=OだからOは開
Dが開で
D-cl(O)=D-OだからD-Oは開

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■49243 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 複素解析

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□投稿者/ konP 一般人(6回)-(2019/04/22(Mon) 08:48:04)

C-Kが開集合かつDはC-Kの連結成分ということから、Dは開集合、ということでしょうか？

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■49246 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 複素解析

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□投稿者/ muturajcp 軍団(137回)-(2019/04/22(Mon) 16:19:04)

はいそうです
Kは閉集合だから
C-Kは開集合だから
DはC-Kの1つの連結成分だから
DはC-Kの
(閉)開集合となるから
D=(C-K)∩Gとなる開集合Gがあるから
Dは開集合となる

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■49247 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 複素解析

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□投稿者/ muturajcp 軍団(138回)-(2019/04/22(Mon) 16:48:48)

Kは閉集合だから
C-Kは開集合だから
DはC-Kの1つの連結成分だから
a∈D
とすると
a∈D⊂C-K
a∈C-K
C-Kは開集合だから
U(a)={z∈C;|z-a|<ε}⊂C-K
となるような正数ε>0が存在する
U(a)は連結開集合で
a∈Dで
DはC-Kの1つの連結成分だから
だから
U(a)={z∈C;|z-a|<ε}⊂D
Dの任意の点aに対してU(a)⊂Dとなる近傍U(a)があるから
Dは開集合となる

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■49249 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 複素解析

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□投稿者/ konP 一般人(8回)-(2019/04/22(Mon) 19:27:19)

納得しました。とても丁寧な証明でした。ありがとうございました。

解決済み!

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