 | ■No4842に返信(弘斗さんの記事)
> つまずいたので書き込みさせて頂きました。
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> 3次方程式 x3-(a+1)x2+2ax+b=0(a,bは実数の定義)……①は、x=1を解にもつ。
> (1)bをaを用いて表せ。
> (2)①が虚数解をもつとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。
> (3)(2)のとき、①の２つの虚数解をα、βとする。方程式x2+cx+4a2-a-6=0の2つの解がα＋β、α2β2であるとき、定数cの値を求めよ。
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> もし分かる方いらっしゃいましたらご回答お願いします。
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(1)
①にx=1を代入して
1-(a+1)+2a+b=0
整理してb=-a
(2)
(1)の結果を①へ代入すると
x^3-(a+1)x^2+2ax-a=0
これより
(x-1)(x^2-ax+a)=0
(条件よりx^3-(a+1)x^2+2ax-aはx-1を因数に持ちますので、x^3-(a+1)x^2+2ax-aをx-1で割ってみましょう)
よって二次方程式
x^2-ax+a=0 (A)
が虚数解を持たなければならないので、解の判別式をDとすると…。
(3)
条件から(A)の解がα、βであるから解と係数の関係より
α+β=a
αβ=a
よって
(α+β)+(α^2)(β^2)=a+a^2
(α+β){(α^2)(β^2)}=a^3
であるから、解と係数の関係より、α+β、(α^2)(β^2)を解に持つ二次方程式は、
x^2-(a+a^2)x+a^3=0 (B)
条件よりこれと
x^2+cx+4a^2-a-6=0
が等価ですから、係数を比較してa,cについての連立方程式を立てます。
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