 | (1)
1個買って金が出ない確率は 1-p
2個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^2
3個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^3
4個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^4
n≧5、0≦m≦4として
n個買って金が0枚、銀がm枚の確率は nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)
なので
1個買ってGETできる確率は p
2個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^2)-p
3個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^3)-(1-(1-p)^2)=(1-p)^2-(1-p)^3
4個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^4)-(1-(1-p)^3)=(1-p)^3-(1-p)^4
つまりn≦4のときにn個買って初めてGETできる確率は
(1-p)^(n-1)-(1-p)^n
そしてn≧5のときにn個買って初めてGETできる確率は
(1-Σ[m=0〜4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)})
-(1-Σ[m=0〜4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)})
=Σ[m=0〜4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)}
-Σ[m=0〜4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)}
=
{(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3+(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2
+(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
+(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12
よって求める期待値は
Σ[n=1〜4]〔n{(1-p)^(n-1)-(1-p)^n}〕
+Σ[n=5〜∞]〔n{(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3
+(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2+(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
+(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12〕
=
(-4p^4+15p^3-20p^2+10p)
+(31104p^5-116640p^4+155520p^3-77760p^2+4651)/(7776p)
=4651/(7776p)
途中計算は非常に大変でしたが、答えは結構シンプルになりました。
ということは、もっとうまい計算方法があるのかも知れません。
(2)
銀のエンゼルを廃止して金のエンゼルの確率を2倍にすると
期待値は1/(2p)個になりますので、
(金のエンゼルが出る確率を2倍に変更した時の期待値)＜(元の期待値)
ですから、妥当ではないということになりますね。
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