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■46141
/ inTopicNo.1)
Re[11]: 広義積分
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□投稿者/ みずき
一般人(29回)-(2014/07/03(Thu) 19:52:49)
いろいろと私に早合点があったようですね。失礼しました。
おっしゃる2点は尤もだと思います。
別証が得られたと思いましたが、やや脇が甘かったようです。
(もしかしたら、正当化できるような議論がなされえるのかもしれませんが、
少なくとも私の手には負えないようです)
というわけで、冒頭の証明(+らすかるさんの補足説明)以外を無視してください。
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■46140
/ inTopicNo.2)
Re[10]: 広義積分
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□投稿者/ 目細工
一般人(10回)-(2014/07/03(Thu) 19:40:49)
2014/07/03(Thu) 19:42:04 編集(投稿者)
こういう論証問題の場合、グラフより明らかと言ってしまっていいのでしょうか?
(式で示すことが簡単じゃないということは、グラフから明らかではないということなのではないでしょうか?)
あと、みずきさんのご回答でもう一つわからないのは、
f(A)=∫[0,A]sin(x^2)dxとしたときに、
f(√(nπ))が収束することからどうしてf(A)が収束すること
が言えるのか?ということです。
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■46139
/ inTopicNo.3)
Re[9]: 広義積分
▲
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□投稿者/ みずき
一般人(28回)-(2014/07/03(Thu) 19:35:24)
一応、図はこちら(↓)で。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%5E2%29
私には式で示すことはできないと思うので、ここで辞退させていただきます。
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■46138
/ inTopicNo.4)
Re[8]: 広義積分
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□投稿者/ 目細工
一般人(9回)-(2014/07/03(Thu) 19:28:53)
式でa[n]が単調減少であること証明できますでしょうか?
グラフを考えてもあまり明らかと思えないので…
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■46137
/ inTopicNo.5)
Re[7]: 広義積分
▲
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□投稿者/ みずき
一般人(27回)-(2014/07/03(Thu) 19:15:48)
言えないと思います。
私の回答の意図は、
a[n]=|∫[√(nπ),√{(n+1)π}]sin(x^2)dx|
で、
a[n]の積分区間である
√{(n+1)π}-√(nπ)=π/(√{(n+1)π}+√(nπ))
が単調減少なので、{a[n]}は単調減少する、ということです。
sin(x^2)のグラフを考えれば、納得されると思いますが。
引用返信
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■46136
/ inTopicNo.6)
Re[6]: 広義積分
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□投稿者/ 目細工
一般人(8回)-(2014/07/03(Thu) 19:07:24)
2014/07/03(Thu) 19:10:17 編集(投稿者)
■
No46135
に返信(みずきさんの記事)
> ■
No46133
に返信(目細工さんの記事)
>>a[n]→0は分かったのですが、
>>なぜa[n]は単調減少なのでしょうか?
>
> √{(n+1)π}-√(nπ)=π/(√{(n+1)π}+√(nπ))
> が単調減少だから、です。
√{(n+1)π}-√(nπ)が単調減少だから、とだけではよく分らないのですが…
a[n]≦√{(n+1)π}-√(nπ)
a[n+1]≦√{(n+2)π}-√{(n+1)π}
から
a[n]≧a[n+1]
が言えるのですか?
引用返信
/
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■46135
/ inTopicNo.7)
Re[5]: 広義積分
▲
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□投稿者/ みずき
一般人(26回)-(2014/07/03(Thu) 19:03:23)
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No46133
に返信(目細工さんの記事)
> a[n]→0は分かったのですが、
> なぜa[n]は単調減少なのでしょうか?
√{(n+1)π}-√(nπ)=π/(√{(n+1)π}+√(nπ))
が単調減少だから、です。
引用返信
/
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■46133
/ inTopicNo.8)
Re[4]: 広義積分
▲
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□投稿者/ 目細工
一般人(7回)-(2014/07/03(Thu) 18:50:07)
a[n]→0は分かったのですが、
なぜa[n]は単調減少なのでしょうか?
引用返信
/
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■46132
/ inTopicNo.9)
Re[3]: 広義積分
▲
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□投稿者/ みずき
一般人(25回)-(2014/07/03(Thu) 17:21:56)
A(n)の積分区間が0からになっていますが、そうすると示しづらいと思います。
また、sin(x^2)=0となるようなxは具体的に書けるので、
以下のようにした方が見やすいかと思います。
sin(x^2)=0となるのは、x^2=nπ
すなわち、x=√(nπ)(ただし、nは非負整数)のときです。
ここで、
a[n]=|∫[√(nπ),√{(n+1)π}]sin(x^2)dx|
とおけば、
√{(n+1)π}-√(nπ)
=(√{(n+1)π}-√(nπ))(√{(n+1)π}+√(nπ))/(√{(n+1)π}+√(nπ))
=π/(√{(n+1)π}+√(nπ))
→0 (n→∞)
により、{a[n]}は単調減少で、0に収束します。
よって、
∫[0,√{(N+1)π}]sin(x^2)dx=Σ[n=0,N](-1)^n*a[n]
は、N→∞のとき収束します。
引用返信
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■46130
/ inTopicNo.10)
Re[2]: 広義積分
▲
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□投稿者/ 目細工
一般人(6回)-(2014/07/03(Thu) 16:28:13)
2014/07/03(Thu) 16:52:51 編集(投稿者)
交代級数による証明ですが、理解できるような理解できないような、という感じです。
sin(x^2)=0の正の解をa[1],a[2],a[3],…とすると、
A[n]=∫[0,a[n]]sin(x^2)dx (n=1,2,3,…)という数列が収束していることの証明ですよね?
f(A)=∫[0,A]sin(x^2)dxという関数のA→∞の収束を示しているのでしょうか?
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■46129
/ inTopicNo.11)
Re[1]: 広義積分
▲
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□投稿者/ みずき
一般人(24回)-(2014/07/03(Thu) 15:58:52)
2014/07/03(Thu) 17:27:06 編集(投稿者)
>目細工さん
私の回答でいろいろと混乱させてしまったようですみません。
-2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2
という式は
「∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtが-2から2の間の値に収束する」
という意味で書きましたが、ちょっと言葉足らずでしたね。
基本的にらすかるさんがおっしゃっている通りです。
(納得されているようなので、詳細は省略させていただきます。)
ところで、交代級数による証明はご覧になりましたでしょうか?
(こちらの方が計算を必要としないという点でbetterかと思われますので)
引用返信
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■46127
/ inTopicNo.12)
Re[9]: 広義積分
▲
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□投稿者/ らすかる
軍団(133回)-(2014/07/03(Thu) 11:21:23)
その式は
「∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtは収束する」
という意味で書いているものと思いますが、上の式から
-2と2の間であることもわかっていますので
その式を書いたのだと思います。
書いた本人ではありませんので推測に過ぎませんが。
引用返信
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■46125
/ inTopicNo.13)
Re[8]: 広義積分
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□投稿者/ 目細工
一般人(5回)-(2014/07/03(Thu) 10:50:19)
なるほど!
よくわかりました。
ありがとうございます。
「∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtが-2から2の間の値に収束する」
この確認はなぜ必要なのですか?
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■46124
/ inTopicNo.14)
Re[7]: 広義積分
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□投稿者/ らすかる
軍団(132回)-(2014/07/03(Thu) 10:29:35)
∫[1,A^2]|(cost)*t^(-3/2)|dt≦2-2/A
の間でどこかわからない箇所はありますか?
これが問題なければ、
∫[1,A^2]|(cost)*t^(-3/2)|dtはAに関する増加関数で有界なのでA→∞で収束
そして
∫[1,∞]|(cost)*t^(-3/2)|dtが収束⇒∫[1,∞](cost)*t^(-3/2)dtも収束
となりますね。
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/
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■46123
/ inTopicNo.15)
Re[6]: 広義積分
▲
▼
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□投稿者/ 目細工
一般人(4回)-(2014/07/03(Thu) 10:02:00)
さらに、以降でどうやって∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtの収束が示されているのか
よく分らないので、詳しく教えていただけないでしょうか…
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■46122
/ inTopicNo.16)
Re[5]: 広義積分
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□投稿者/ らすかる
軍団(131回)-(2014/07/03(Thu) 09:55:59)
-2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2
という式は
「∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtが-2から2の間の値に収束する」
という意味だと思います。
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■46121
/ inTopicNo.17)
Re[4]: 広義積分
▲
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□投稿者/ 目細工
一般人(3回)-(2014/07/03(Thu) 08:00:37)
■
No46119
に返信(らすかるさんの記事)
> 「さらに、」からを読めばわかるのでは?
???
-2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2
だけで、何故収束してると言えるのですか?
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/
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■46120
/ inTopicNo.18)
Re[1]: 広義積分
▲
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□投稿者/ みずき
一般人(23回)-(2014/07/03(Thu) 01:27:27)
2014/07/03(Thu) 01:28:37 編集(投稿者)
今気づきましたが、この問題は、次のように簡単に示せますね。
y=sin(x^2) (x≧0)のグラフは、「波状」のグラフで
各「こぶ」の面積は、xが大きくなるにつれて小さくなり、0に収束します。
よって、交代級数のライプニッツの収束判定法により、
∫[0,∞]sin(x^2)dxは収束します。
蛇足ですが、∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt が収束することも同様に言えます。
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■46119
/ inTopicNo.19)
Re[3]: 広義積分
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□投稿者/ らすかる
軍団(130回)-(2014/07/03(Thu) 00:49:10)
「さらに、」からを読めばわかるのでは?
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/
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■46118
/ inTopicNo.20)
Re[2]: 広義積分
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□投稿者/ 目細工
一般人(2回)-(2014/07/03(Thu) 00:44:45)
すみません、
> ∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt
これは何故収束するのですか?
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