 | ∫[0,+∞]sin(x^2)dx=∫[0,1]sin(x^2)dx+∫[1,∞]sin(x^2)dx
において、
0≦∫[0,1]sin(x^2)dx≦∫[0,1]x^2dx=1/3
十分大きなAに対して、
∫[1,A]sin(x^2)dx
=∫[1,A^2]sint*dt/(2√t) (←x^2=tと置換)
=1/2∫[1,A^2](-cost)'dt/√t
=1/2[(-cost)/√t]_[1,A^2]-1/2∫[1,A^2](-cost)*(-1/2)*t^(-3/2)dt
=(1/2)(-cos(A^2)/A+cos1)-1/4∫[1,A^2]{(cost)*t^(-3/2)}dt
ここで、
lim_(A→∞){(1/2)(-cos(A^2)/A+cos1)}=(cos1)/2
さらに、
|∫[1,A^2]{(cost)*t^(-3/2)}dt|
≦∫[1,A^2]|(cost)*t^(-3/2)|dt
≦∫[1,A^2]|t^(-3/2)|dt
=∫[1,A^2]t^(-3/2)dt
=[-2/√t]_[1,A^2]
=2-2/A
なので、
-2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2
以上により、∫[0,+∞]sin(x^2)dxは収束します。
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