| ∫[0,+∞]sin(x^2)dx=∫[0,1]sin(x^2)dx+∫[1,∞]sin(x^2)dx において、 0≦∫[0,1]sin(x^2)dx≦∫[0,1]x^2dx=1/3
十分大きなAに対して、 ∫[1,A]sin(x^2)dx =∫[1,A^2]sint*dt/(2√t) (←x^2=tと置換) =1/2∫[1,A^2](-cost)'dt/√t =1/2[(-cost)/√t]_[1,A^2]-1/2∫[1,A^2](-cost)*(-1/2)*t^(-3/2)dt =(1/2)(-cos(A^2)/A+cos1)-1/4∫[1,A^2]{(cost)*t^(-3/2)}dt
ここで、 lim_(A→∞){(1/2)(-cos(A^2)/A+cos1)}=(cos1)/2
さらに、 |∫[1,A^2]{(cost)*t^(-3/2)}dt| ≦∫[1,A^2]|(cost)*t^(-3/2)|dt ≦∫[1,A^2]|t^(-3/2)|dt =∫[1,A^2]t^(-3/2)dt =[-2/√t]_[1,A^2] =2-2/A なので、 -2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2
以上により、∫[0,+∞]sin(x^2)dxは収束します。
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