 | xy={(x+y)^2-(x-y)^2}/4から、x+yが一定のとき、
|x-y|が小さいほどxyが大きくなります。
よって、あるx,y,zが条件を満たしてx-y＞1だったとき、
x+yを変えずにxを減らしyを増やしてx-y=1とすると
全ての条件を守ったままxyzは大きくなります。
従って1≦x-y≦2という条件からxyzが最大になるのはx-y=1のときです。
また、あるx,y,zが条件を満たしてx+y+z＜6だったとき、
zを増やしてx+y+z=6とすると全ての条件を守ったまま
xyzは大きくなりますので、xyzが最大になるのはx+y+z=6の時です。
x-y=1からy=x-1なので、5x+y=6x-1≦19からx≦10/3
またy=x-1をx+y+z=6に代入して整理するとz=7-2xなので
xyz=x(x-1)(7-2x)
f(x)=x(x-1)(7-2x)とおいて増減を調べ、0＜x≦10/3の範囲での最大値を調べると
x=(9+√39)/6のとき最大値(54+13√39)/18をとります。
x=(9+√39)/6のときy=x-1からy=(3+√39)/6、z=7-2xからz=(12-√39)/3
となり、答えは
(x,y,z)=((9+√39)/6,(3+√39)/6,(12-√39)/3)のとき
xyzは最大値(54+13√39)/18をとる。
となります。
# 5x+y≒14.245となり、5x+y≦19という条件はあまり意味がありませんが、
# 問題は正しいでしょうか。
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