 | 2数ならばnとn+1で条件を満たします。
これにn+2を追加する場合、nとn+2の最大公約数が2であればよいので
nが偶数ならば条件を満たします。
つまりn=2mとして2mと2m+1と2m+2です。
これに2m+3を追加することはできませんので、追加するならば2m+4です。
この場合、2mと2m+4の関係が条件を満たすためにはmが偶数であればよく、
2m+1と2m+4の関係が条件を満たすためには2m+1が3の倍数であれば大丈夫です。
つまりm=6p+4とすれば条件を満たし、
代入して12p+8,12p+9,12p+10,12p+12となります。
これに追加できるものを考えると、
12p+13,12p+16,12p+19,…は12p+10との関係が条件を満たさず不適
12p+14,12p+17,12p+20,…は12p+8との関係が条件を満たさず不適
なので12p+15,12p+18,12p+21,…のどれかになります。
しかし12p+15,12p+21,12p+27,…は12p+9との関係が条件を満たしませんので
残り12p+18,12p+24,12p+30,…に絞れます。
12p+18は12p+10との関係が条件を満たさず不適
12p+24は条件を満たすことができそうです。
条件を満たすためには、12p+24が16,15,14,12で割り切れれば良く、
この条件を満たすpは140q+138なので、代入して
1680q+1664,1680q+1665,1680q+1666,1680q+1668,1680q+1680
q=0とすれば
1664,1665,1666,1668,1680
という解が得られます。
出だしからn,n-1,n-2のように減っていく方に考えると
1680,1692,1694,1695,1696という（最小でない）解が出てくると思います。
答えはおそらくこのような考え方で出されたものでしょう。
さらに先を考えてみると
12p+18,12p+24,12p+30,…のうち一つ飛ばしの12p+18,12p+30,12p+42,…は
いずれも12p+10との関係が条件を満たさず不適（4で割り切れない）ですから
12p+24,12p+36,12p+48,…でないと条件を満たしません。
12p+24のときに
12p+24は16,15,14,12で割り切れなければならず1680になったのと同様に
12p+36だと28,27,26,24で割り切れなければならないので最小19656
12p+48だと40,39,38,36で割り切れなければならないので最小88920
・・・
以降も多分増え続けますので、大きい方を考えても
上に書いた1664,1665,1666,1668,1680より小さい解は出てこないと思います。
しかし逆を考えるとより小さい解が得られます。
12p+8より小さい方向を上と同様に考えると、最初に条件を満たす可能性があるのは
12pであり、計算すると360,368,369,370,372の5数が条件を満たします。
ということはそれぞれを720から引いた348,350,351,352,360も
条件を満たします。
最初がn,n+1という考え方をやめると、もっと小さい解が見つかります。
最初の3数が2差と3差と仮定して残りの2数を追加することで
36,40,42,45,48
という解が見つかります。
この程度の数であればプログラムで総当たりで調べられますので
確認したところ、これが最小解となっていました。
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