| 2数ならばnとn+1で条件を満たします。 これにn+2を追加する場合、nとn+2の最大公約数が2であればよいので nが偶数ならば条件を満たします。 つまりn=2mとして2mと2m+1と2m+2です。 これに2m+3を追加することはできませんので、追加するならば2m+4です。 この場合、2mと2m+4の関係が条件を満たすためにはmが偶数であればよく、 2m+1と2m+4の関係が条件を満たすためには2m+1が3の倍数であれば大丈夫です。 つまりm=6p+4とすれば条件を満たし、 代入して12p+8,12p+9,12p+10,12p+12となります。 これに追加できるものを考えると、 12p+13,12p+16,12p+19,…は12p+10との関係が条件を満たさず不適 12p+14,12p+17,12p+20,…は12p+8との関係が条件を満たさず不適 なので12p+15,12p+18,12p+21,…のどれかになります。 しかし12p+15,12p+21,12p+27,…は12p+9との関係が条件を満たしませんので 残り12p+18,12p+24,12p+30,…に絞れます。 12p+18は12p+10との関係が条件を満たさず不適 12p+24は条件を満たすことができそうです。 条件を満たすためには、12p+24が16,15,14,12で割り切れれば良く、 この条件を満たすpは140q+138なので、代入して 1680q+1664,1680q+1665,1680q+1666,1680q+1668,1680q+1680 q=0とすれば 1664,1665,1666,1668,1680 という解が得られます。 出だしからn,n-1,n-2のように減っていく方に考えると 1680,1692,1694,1695,1696という(最小でない)解が出てくると思います。 答えはおそらくこのような考え方で出されたものでしょう。
さらに先を考えてみると 12p+18,12p+24,12p+30,…のうち一つ飛ばしの12p+18,12p+30,12p+42,…は いずれも12p+10との関係が条件を満たさず不適(4で割り切れない)ですから 12p+24,12p+36,12p+48,…でないと条件を満たしません。 12p+24のときに 12p+24は16,15,14,12で割り切れなければならず1680になったのと同様に 12p+36だと28,27,26,24で割り切れなければならないので最小19656 12p+48だと40,39,38,36で割り切れなければならないので最小88920 ・・・ 以降も多分増え続けますので、大きい方を考えても 上に書いた1664,1665,1666,1668,1680より小さい解は出てこないと思います。
しかし逆を考えるとより小さい解が得られます。 12p+8より小さい方向を上と同様に考えると、最初に条件を満たす可能性があるのは 12pであり、計算すると360,368,369,370,372の5数が条件を満たします。 ということはそれぞれを720から引いた348,350,351,352,360も 条件を満たします。
最初がn,n+1という考え方をやめると、もっと小さい解が見つかります。 最初の3数が2差と3差と仮定して残りの2数を追加することで 36,40,42,45,48 という解が見つかります。
この程度の数であればプログラムで総当たりで調べられますので 確認したところ、これが最小解となっていました。
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