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□投稿者/ t 一般人(3回)-(2014/02/08(Sat) 21:02:39)

\section{直角双曲線の面積関数}

直角双曲線 $2$K : y=\frac{1}{x}$ を考える. $2$x \geq 1$ を１つ固定して
曲線 $2$K$ と $2$x$ 軸,および区間 $2$[1,x]$ を上側に伸ばした領域で囲まれた図形を $2$K_x$
とおく. 図形 $2$K_x$ の面積を
$2$L(x)$ と書くことにするこれは $2$x$ の関数である.

\input{logx2.tex}

$2$L(x)$ を微分するため $2$h>0$ について
$2$L(x+h)-L(x)$ を考える.

図形を集合とみなして,差集合 $2$K_{x+h} \setminus K_x$
を考える. $2$K_{x+h} \setminus K_x$ の面積は
$2$L(x+h)-L(x)$ であり,
集合 $2$K_{x+h} \setminus K_x$
は幅が $2$h$ で高さが $2$\frac{1}{x}$ の長方形に囲まれ
幅が $2$h$ で高さが $2$\frac{1}{x+h}$ の長方形を囲む.

よって
面積の関係によって

$2$$ \frac{h}{x+h} < L(x+h)-L(x) < \frac{h}{x}. $2$$

これにより

$2$$ \frac{1}{x+h} < \frac{L(x+h)-L(x)}{h} < \frac{1}{x}. $2$$

$2$h \to 0$ での $2$ \frac{1}{x+h}$ の極限値は右辺と同じ $2$ \frac{1}{x}$ になるので

$2$$ \frac{1}{x} \leq \frac{d}{dx} L(x) \leq \frac{1}{x}. $2$$
挟み撃ちの原理で
$2$ L'(x)= \frac{d}{dx} L(x) =\frac{1}{x}.$

$2$h<0$ の場合も同様に議論ができて
$2$L'(x)=\frac{1}{x}$ が証明できる.

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