| \section{直角双曲線の面積関数}
直角双曲線 を考える. を1つ固定して 曲線 と 軸,および 区間 を上側に伸ばした領域で囲まれた図形を とおく. 図形 の面積を と書くことにするこれは の関数である.
\input{logx2.tex}
を微分するため について を考える.
図形を集合とみなして,差集合 を考える. の面積は であり, 集合 は幅が で高さが の長方形に囲まれ 幅が で高さが の長方形を囲む.
よって 面積の関係によって
\frac{h}{x+h} < L(x+h)-L(x) < \frac{h}{x}.
これにより
\frac{1}{x+h} < \frac{L(x+h)-L(x)}{h} < \frac{1}{x}.
での の極限値は右辺と同じ になるので
\frac{1}{x} \leq \frac{d}{dx} L(x) \leq \frac{1}{x}. 挟み撃ちの原理で
の場合も同様に議論ができて が証明できる.
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